Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19138 / 14807
↖ ↑ ↗
← N 17.067287°
E 30.256348°		 ← 1 167.78 m → N 17.067287°
E 30.267334°		 →
↑
1 167.87 m
↓
↑
1 167.87 m
↓
N 17.056785°
E 30.256348°		 ← 1 167.84 m →
1 363 849 m²		 N 17.056785°
E 30.267334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584060668945312 y=0.451889038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584060668945312 × 215)
    floor (0.584060668945312 × 32768)
    floor (19138.5)     		tx = 19138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451889038085938 × 215)
    floor (0.451889038085938 × 32768)
    floor (14807.5)     		ty = 14807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19138 / 14807 ti = "15/19138/14807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19138/14807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19138 ÷ 215
    19138 ÷ 32768     		x = 0.58404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14807 ÷ 215
    14807 ÷ 32768     		y = 0.451873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58404541015625 × 2 - 1) × π
    0.1680908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52807289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451873779296875 × 2 - 1) × π
    0.09625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302385962803314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52807289} λ = 0.52807289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302385962803314))-π/2
    2×atan(1.35308336578885)-π/2
    2×0.934338343183269-π/2
    1.86867668636654-1.57079632675     		φ = 0.29788036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52807289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.256348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29788036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.067287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19138 KachelY 14807 0.52807289 0.29788036 30.256348 17.067287
    Oben rechts KachelX + 1 19139 KachelY 14807 0.52826463 0.29788036 30.267334 17.067287
    Unten links KachelX 19138 KachelY + 1 14808 0.52807289 0.29769705 30.256348 17.056785
    Unten rechts KachelX + 1 19139 KachelY + 1 14808 0.52826463 0.29769705 30.267334 17.056785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29788036-0.29769705) × R
    0.000183309999999992 × 6371000     		dl = 1167.86800999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29788036-0.29769705) × R
    0.000183309999999992 × 6371000     		dr = 1167.86800999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52807289-0.52826463) × cos(0.29788036) × R
    0.000191739999999996 × 0.955960739005096 × 6371000     		do = 1167.77825596892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52807289-0.52826463) × cos(0.29769705) × R
    0.000191739999999996 × 0.956014523433953 × 6371000     		du = 1167.84395771165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29788036)-sin(0.29769705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955960739005096-0.956014523433953)×R²
    abs(0.52826463-0.52807289)×5.37844288568401e-05×R²
    0.000191739999999996×5.37844288568401e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.37844288568401e-05×40589641000000     		ar = 1363849.23722038m²