Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19137 / 14806
↖ ↑ ↗
← N 17.077790°
E 30.245361°		 ← 1 167.77 m → N 17.077790°
E 30.256348°		 →
↑
1 167.80 m
↓
↑
1 167.80 m
↓
N 17.067287°
E 30.245361°		 ← 1 167.84 m →
1 363 769 m²		 N 17.067287°
E 30.256348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584030151367188 y=0.451858520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584030151367188 × 215)
    floor (0.584030151367188 × 32768)
    floor (19137.5)     		tx = 19137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451858520507812 × 215)
    floor (0.451858520507812 × 32768)
    floor (14806.5)     		ty = 14806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19137 / 14806 ti = "15/19137/14806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19137/14806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19137 ÷ 215
    19137 ÷ 32768     		x = 0.584014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14806 ÷ 215
    14806 ÷ 32768     		y = 0.45184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584014892578125 × 2 - 1) × π
    0.16802978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52788114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    0.0963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302577710401794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52788114} λ = 0.52788114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302577710401794))-π/2
    2×atan(1.35334284115087)-π/2
    2×0.934429992191857-π/2
    1.86885998438371-1.57079632675     		φ = 0.29806366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52788114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.245361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29806366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.077790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19137 KachelY 14806 0.52788114 0.29806366 30.245361 17.077790
    Oben rechts KachelX + 1 19138 KachelY 14806 0.52807289 0.29806366 30.256348 17.077790
    Unten links KachelX 19137 KachelY + 1 14807 0.52788114 0.29788036 30.245361 17.067287
    Unten rechts KachelX + 1 19138 KachelY + 1 14807 0.52807289 0.29788036 30.256348 17.067287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29806366-0.29788036) × R
    0.000183299999999997 × 6371000     		dl = 1167.80429999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29806366-0.29788036) × R
    0.000183299999999997 × 6371000     		dr = 1167.80429999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52788114-0.52807289) × cos(0.29806366) × R
    0.000191750000000046 × 0.955906925390213 × 6371000     		do = 1167.77341940379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52788114-0.52807289) × cos(0.29788036) × R
    0.000191750000000046 × 0.955960739005096 × 6371000     		du = 1167.83916022791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29806366)-sin(0.29788036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955906925390213-0.955960739005096)×R²
    abs(0.52807289-0.52788114)×5.38136148831025e-05×R²
    0.000191750000000046×5.38136148831025e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.38136148831025e-05×40589641000000     		ar = 1363769.21063236m²