Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19136 / 11712
↖ ↑ ↗
← N 81.334844°
W127.441406°		 ← 46.01 m → N 81.334844°
W127.438660°		 →
↑
46 m
↓
↑
46 m
↓
N 81.334431°
W127.441406°		 ← 46.01 m →
2 116 m²		 N 81.334431°
W127.438660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145999908447266 y=0.0893592834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145999908447266 × 217)
    floor (0.145999908447266 × 131072)
    floor (19136.5)     		tx = 19136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0893592834472656 × 217)
    floor (0.0893592834472656 × 131072)
    floor (11712.5)     		ty = 11712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19136 / 11712 ti = "17/19136/11712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19136/11712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19136 ÷ 217
    19136 ÷ 131072     		x = 0.14599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11712 ÷ 217
    11712 ÷ 131072     		y = 0.08935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22427214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08935546875 × 2 - 1) × π
    0.8212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5801556851499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22427214} λ = -2.22427214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5801556851499))-π/2
    2×atan(13.1991929180346)-π/2
    2×1.49517857769734-π/2
    2.99035715539468-1.57079632675     		φ = 1.41956083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22427214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41956083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.334844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19136 KachelY 11712 -2.22427214 1.41956083 -127.441406 81.334844
    Oben rechts KachelX + 1 19137 KachelY 11712 -2.22422421 1.41956083 -127.438660 81.334844
    Unten links KachelX 19136 KachelY + 1 11713 -2.22427214 1.41955361 -127.441406 81.334431
    Unten rechts KachelX + 1 19137 KachelY + 1 11713 -2.22422421 1.41955361 -127.438660 81.334431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41956083-1.41955361) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dl = 45.9986200005447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41956083-1.41955361) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dr = 45.9986200005447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22427214--2.22422421) × cos(1.41956083) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150659641605406 × 6371000     		do = 46.0057339997273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22427214--2.22422421) × cos(1.41955361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150666779190182 × 6371000     		du = 46.007913547104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41956083)-sin(1.41955361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150659641605406-0.150666779190182)×R²
    abs(-2.22422421--2.22427214)×7.13758477663418e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.13758477663418e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.13758477663418e-06×40589641000000     		ar = 2116.25040431283m²