Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19133 / 14784
↖ ↑ ↗
← N 17.308688°
E 30.201416°		 ← 1 166.32 m → N 17.308688°
E 30.212403°		 →
↑
1 166.34 m
↓
↑
1 166.34 m
↓
N 17.298199°
E 30.201416°		 ← 1 166.38 m →
1 360 361 m²		 N 17.298199°
E 30.212403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583908081054688 y=0.451187133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583908081054688 × 215)
    floor (0.583908081054688 × 32768)
    floor (19133.5)     		tx = 19133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451187133789062 × 215)
    floor (0.451187133789062 × 32768)
    floor (14784.5)     		ty = 14784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19133 / 14784 ti = "15/19133/14784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19133/14784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19133 ÷ 215
    19133 ÷ 32768     		x = 0.583892822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14784 ÷ 215
    14784 ÷ 32768     		y = 0.451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583892822265625 × 2 - 1) × π
    0.16778564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52711415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451171875 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52711415} λ = 0.52711415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306796157568359))-π/2
    2×atan(1.35906390494319)-π/2
    2×0.936444959805361-π/2
    1.87288991961072-1.57079632675     		φ = 0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52711415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.201416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19133 KachelY 14784 0.52711415 0.30209359 30.201416 17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 19134 KachelY 14784 0.52730590 0.30209359 30.212403 17.308688
    Unten links KachelX 19133 KachelY + 1 14785 0.52711415 0.30191052 30.201416 17.298199
    Unten rechts KachelX + 1 19134 KachelY + 1 14785 0.52730590 0.30191052 30.212403 17.298199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30209359-0.30191052) × R
    0.000183070000000007 × 6371000     		dl = 1166.33897000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30209359-0.30191052) × R
    0.000183070000000007 × 6371000     		dr = 1166.33897000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52711415-0.52730590) × cos(0.30209359) × R
    0.000191750000000046 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 1166.31816896535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52711415-0.52730590) × cos(0.30191052) × R
    0.000191750000000046 × 0.954770148673885 × 6371000     		du = 1166.38468834863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30209359)-sin(0.30191052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.954770148673885)×R²
    abs(0.52730590-0.52711415)×5.44509218074474e-05×R²
    0.000191750000000046×5.44509218074474e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.44509218074474e-05×40589641000000     		ar = 1360361.12775722m²