Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19130 / 14790
↖ ↑ ↗
← N 17.245744°
E 30.168457°		 ← 1 166.66 m → N 17.245744°
E 30.179443°		 →
↑
1 166.72 m
↓
↑
1 166.72 m
↓
N 17.235252°
E 30.168457°		 ← 1 166.72 m →
1 361 201 m²		 N 17.235252°
E 30.179443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583816528320312 y=0.451370239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583816528320312 × 215)
    floor (0.583816528320312 × 32768)
    floor (19130.5)     		tx = 19130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451370239257812 × 215)
    floor (0.451370239257812 × 32768)
    floor (14790.5)     		ty = 14790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19130 / 14790 ti = "15/19130/14790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19130/14790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19130 ÷ 215
    19130 ÷ 32768     		x = 0.58380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14790 ÷ 215
    14790 ÷ 32768     		y = 0.45135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58380126953125 × 2 - 1) × π
    0.1676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52653891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    0.0972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.305645671977478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52653891} λ = 0.52653891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305645671977478))-π/2
    2×atan(1.35750122059874)-π/2
    2×0.93589567258651-π/2
    1.87179134517302-1.57079632675     		φ = 0.30099502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52653891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.168457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30099502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.245744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19130 KachelY 14790 0.52653891 0.30099502 30.168457 17.245744
    Oben rechts KachelX + 1 19131 KachelY 14790 0.52673065 0.30099502 30.179443 17.245744
    Unten links KachelX 19130 KachelY + 1 14791 0.52653891 0.30081189 30.168457 17.235252
    Unten rechts KachelX + 1 19131 KachelY + 1 14791 0.52673065 0.30081189 30.179443 17.235252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30099502-0.30081189) × R
    0.000183129999999976 × 6371000     		dl = 1166.72122999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30099502-0.30081189) × R
    0.000183129999999976 × 6371000     		dr = 1166.72122999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52653891-0.52673065) × cos(0.30099502) × R
    0.000191739999999996 × 0.955041967735619 × 6371000     		do = 1166.65590745928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52653891-0.52673065) × cos(0.30081189) × R
    0.000191739999999996 × 0.95509624438903 × 6371000     		du = 1166.72221049148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30099502)-sin(0.30081189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955041967735619-0.95509624438903)×R²
    abs(0.52673065-0.52653891)×5.42766534108452e-05×R²
    0.000191739999999996×5.42766534108452e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.42766534108452e-05×40589641000000     		ar = 1361200.89771933m²