Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1913 / 421
↖ ↑ ↗
← N 72.127936°
E156.269531°		 ← 5 998.51 m → N 72.127936°
E156.445312°		 →
↑
6 007.28 m
↓
↑
6 007.28 m
↓
N 72.073911°
E156.269531°		 ← 6 016.05 m →
36 087 435 m²		 N 72.073911°
E156.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934326171875 y=0.205810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934326171875 × 211)
    floor (0.934326171875 × 2048)
    floor (1913.5)     		tx = 1913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205810546875 × 211)
    floor (0.205810546875 × 2048)
    floor (421.5)     		ty = 421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1913 / 421 ti = "11/1913/421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1913/421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1913 ÷ 211
    1913 ÷ 2048     		x = 0.93408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 421 ÷ 211
    421 ÷ 2048     		y = 0.20556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93408203125 × 2 - 1) × π
    0.8681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.72741784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20556640625 × 2 - 1) × π
    0.5888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84998083013721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72741784} λ = 2.72741784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84998083013721))-π/2
    2×atan(6.35969760690275)-π/2
    2×1.41483314877588-π/2
    2.82966629755177-1.57079632675     		φ = 1.25886997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72741784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25886997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.127936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1913 KachelY 421 2.72741784 1.25886997 156.269531 72.127936
    Oben rechts KachelX + 1 1914 KachelY 421 2.73048580 1.25886997 156.445312 72.127936
    Unten links KachelX 1913 KachelY + 1 422 2.72741784 1.25792706 156.269531 72.073911
    Unten rechts KachelX + 1 1914 KachelY + 1 422 2.73048580 1.25792706 156.445312 72.073911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25886997-1.25792706) × R
    0.000942909999999797 × 6371000     		dl = 6007.27960999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25886997-1.25792706) × R
    0.000942909999999797 × 6371000     		dr = 6007.27960999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72741784-2.73048580) × cos(1.25886997) × R
    0.00306795999999965 × 0.306892603538866 × 6371000     		do = 5998.5145917725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72741784-2.73048580) × cos(1.25792706) × R
    0.00306795999999965 × 0.307789876057852 × 6371000     		du = 6016.05265634582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25886997)-sin(1.25792706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306892603538866-0.307789876057852)×R²
    abs(2.73048580-2.72741784)×0.00089727251898658×R²
    0.00306795999999965×0.00089727251898658×6371000²
    0.00306795999999965×0.00089727251898658×40589641000000     		ar = 36087435.1000087m²