Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19129 / 14799
↖ ↑ ↗
← N 17.151288°
E 30.157471°		 ← 1 167.31 m → N 17.151288°
E 30.168457°		 →
↑
1 167.29 m
↓
↑
1 167.29 m
↓
N 17.140790°
E 30.157471°		 ← 1 167.38 m →
1 362 636 m²		 N 17.140790°
E 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583786010742188 y=0.451644897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583786010742188 × 215)
    floor (0.583786010742188 × 32768)
    floor (19129.5)     		tx = 19129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451644897460938 × 215)
    floor (0.451644897460938 × 32768)
    floor (14799.5)     		ty = 14799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19129 / 14799 ti = "15/19129/14799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19129/14799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19129 ÷ 215
    19129 ÷ 32768     		x = 0.583770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14799 ÷ 215
    14799 ÷ 32768     		y = 0.451629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583770751953125 × 2 - 1) × π
    0.16754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52634716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451629638671875 × 2 - 1) × π
    0.09674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.303919943591156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52634716} λ = 0.52634716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303919943591156))-π/2
    2×atan(1.35516056245889)-π/2
    2×0.935071390597586-π/2
    1.87014278119517-1.57079632675     		φ = 0.29934645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52634716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.157471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29934645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.151288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19129 KachelY 14799 0.52634716 0.29934645 30.157471 17.151288
    Oben rechts KachelX + 1 19130 KachelY 14799 0.52653891 0.29934645 30.168457 17.151288
    Unten links KachelX 19129 KachelY + 1 14800 0.52634716 0.29916323 30.157471 17.140790
    Unten rechts KachelX + 1 19130 KachelY + 1 14800 0.52653891 0.29916323 30.168457 17.140790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29934645-0.29916323) × R
    0.000183219999999984 × 6371000     		dl = 1167.2946199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29934645-0.29916323) × R
    0.000183219999999984 × 6371000     		dr = 1167.2946199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52634716-0.52653891) × cos(0.29934645) × R
    0.000191749999999935 × 0.955529422317636 × 6371000     		do = 1167.31224683265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52634716-0.52653891) × cos(0.29916323) × R
    0.000191749999999935 × 0.955583437084419 × 6371000     		du = 1167.37823339184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29934645)-sin(0.29916323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955529422317636-0.955583437084419)×R²
    abs(0.52653891-0.52634716)×5.4014766782795e-05×R²
    0.000191749999999935×5.4014766782795e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.4014766782795e-05×40589641000000     		ar = 1362635.82227731m²