Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19128 / 14794
↖ ↑ ↗
← N 17.203770°
E 30.146484°		 ← 1 166.98 m → N 17.203770°
E 30.157471°		 →
↑
1 167.04 m
↓
↑
1 167.04 m
↓
N 17.193275°
E 30.146484°		 ← 1 167.05 m →
1 361 953 m²		 N 17.193275°
E 30.157471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583755493164062 y=0.451492309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583755493164062 × 215)
    floor (0.583755493164062 × 32768)
    floor (19128.5)     		tx = 19128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451492309570312 × 215)
    floor (0.451492309570312 × 32768)
    floor (14794.5)     		ty = 14794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19128 / 14794 ti = "15/19128/14794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19128/14794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19128 ÷ 215
    19128 ÷ 32768     		x = 0.583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14794 ÷ 215
    14794 ÷ 32768     		y = 0.45147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583740234375 × 2 - 1) × π
    0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45147705078125 × 2 - 1) × π
    0.0970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.304878681583557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52615541} λ = 0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304878681583557))-π/2
    2×atan(1.35646042939226)-π/2
    2×0.935529376967136-π/2
    1.87105875393427-1.57079632675     		φ = 0.30026243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30026243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.203770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19128 KachelY 14794 0.52615541 0.30026243 30.146484 17.203770
    Oben rechts KachelX + 1 19129 KachelY 14794 0.52634716 0.30026243 30.157471 17.203770
    Unten links KachelX 19128 KachelY + 1 14795 0.52615541 0.30007925 30.146484 17.193275
    Unten rechts KachelX + 1 19129 KachelY + 1 14795 0.52634716 0.30007925 30.157471 17.193275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30026243-0.30007925) × R
    0.000183180000000005 × 6371000     		dl = 1167.03978000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30026243-0.30007925) × R
    0.000183180000000005 × 6371000     		dr = 1167.03978000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52615541-0.52634716) × cos(0.30026243) × R
    0.000191750000000046 × 0.955258902861887 × 6371000     		do = 1166.9817696483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52615541-0.52634716) × cos(0.30007925) × R
    0.000191750000000046 × 0.955313066149227 × 6371000     		du = 1167.04793764602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30026243)-sin(0.30007925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955258902861887-0.955313066149227)×R²
    abs(0.52634716-0.52615541)×5.41632873406472e-05×R²
    0.000191750000000046×5.41632873406472e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.41632873406472e-05×40589641000000     		ar = 1361952.76186558m²