Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19128 / 11944
↖ ↑ ↗
← N 81.238313°
W127.463379°		 ← 46.52 m → N 81.238313°
W127.460632°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
N 81.237895°
W127.463379°		 ← 46.53 m →
2 164 m²		 N 81.237895°
W127.460632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145938873291016 y=0.0911293029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145938873291016 × 217)
    floor (0.145938873291016 × 131072)
    floor (19128.5)     		tx = 19128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0911293029785156 × 217)
    floor (0.0911293029785156 × 131072)
    floor (11944.5)     		ty = 11944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19128 / 11944 ti = "17/19128/11944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19128/11944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19128 ÷ 217
    19128 ÷ 131072     		x = 0.14593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11944 ÷ 217
    11944 ÷ 131072     		y = 0.09112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.7081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22465564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09112548828125 × 2 - 1) × π
    0.8177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56903432443805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22465564} λ = -2.22465564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56903432443805))-π/2
    2×atan(13.0532131837467)-π/2
    2×1.49433618565572-π/2
    2.98867237131144-1.57079632675     		φ = 1.41787604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22465564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41787604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.238313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19128 KachelY 11944 -2.22465564 1.41787604 -127.463379 81.238313
    Oben rechts KachelX + 1 19129 KachelY 11944 -2.22460770 1.41787604 -127.460632 81.238313
    Unten links KachelX 19128 KachelY + 1 11945 -2.22465564 1.41786874 -127.463379 81.237895
    Unten rechts KachelX + 1 19129 KachelY + 1 11945 -2.22460770 1.41786874 -127.460632 81.237895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41787604-1.41786874) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dl = 46.5082999988617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41787604-1.41786874) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dr = 46.5082999988617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22465564--2.22460770) × cos(1.41787604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152324986282199 × 6371000     		do = 46.5239716557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22465564--2.22460770) × cos(1.41786874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152332201090499 × 6371000     		du = 46.5261752438641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41787604)-sin(1.41786874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152324986282199-0.152332201090499)×R²
    abs(-2.22460770--2.22465564)×7.21480830051524e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21480830051524e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21480830051524e-06×40589641000000     		ar = 2163.80207344884m²