Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19127 / 14837
↖ ↑ ↗
← N 16.751948°
E 30.135498°		 ← 1 169.79 m → N 16.751948°
E 30.146484°		 →
↑
1 169.84 m
↓
↑
1 169.84 m
↓
N 16.741427°
E 30.135498°		 ← 1 169.86 m →
1 368 514 m²		 N 16.741427°
E 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583724975585938 y=0.452804565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583724975585938 × 215)
    floor (0.583724975585938 × 32768)
    floor (19127.5)     		tx = 19127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452804565429688 × 215)
    floor (0.452804565429688 × 32768)
    floor (14837.5)     		ty = 14837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19127 / 14837 ti = "15/19127/14837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19127/14837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19127 ÷ 215
    19127 ÷ 32768     		x = 0.583709716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14837 ÷ 215
    14837 ÷ 32768     		y = 0.452789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583709716796875 × 2 - 1) × π
    0.16741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52596366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452789306640625 × 2 - 1) × π
    0.09442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.296633534848907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52596366} λ = 0.52596366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296633534848907))-π/2
    2×atan(1.34532219539929)-π/2
    2×0.931586487084451-π/2
    1.8631729741689-1.57079632675     		φ = 0.29237665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52596366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.135498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29237665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.751948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19127 KachelY 14837 0.52596366 0.29237665 30.135498 16.751948
    Oben rechts KachelX + 1 19128 KachelY 14837 0.52615541 0.29237665 30.146484 16.751948
    Unten links KachelX 19127 KachelY + 1 14838 0.52596366 0.29219303 30.135498 16.741427
    Unten rechts KachelX + 1 19128 KachelY + 1 14838 0.52615541 0.29219303 30.146484 16.741427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29237665-0.29219303) × R
    0.000183619999999995 × 6371000     		dl = 1169.84301999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29237665-0.29219303) × R
    0.000183619999999995 × 6371000     		dr = 1169.84301999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52596366-0.52615541) × cos(0.29237665) × R
    0.000191749999999935 × 0.957561561494363 × 6371000     		do = 1169.79478781241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52596366-0.52615541) × cos(0.29219303) × R
    0.000191749999999935 × 0.957614469928317 × 6371000     		du = 1169.85942283198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29237665)-sin(0.29219303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957561561494363-0.957614469928317)×R²
    abs(0.52615541-0.52596366)×5.2908433954113e-05×R²
    0.000191749999999935×5.2908433954113e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.2908433954113e-05×40589641000000     		ar = 1368514.07761316m²