Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19127 / 14793
↖ ↑ ↗
← N 17.214264°
E 30.135498°		 ← 1 166.92 m → N 17.214264°
E 30.146484°		 →
↑
1 166.91 m
↓
↑
1 166.91 m
↓
N 17.203770°
E 30.135498°		 ← 1 166.98 m →
1 361 727 m²		 N 17.203770°
E 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583724975585938 y=0.451461791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583724975585938 × 215)
    floor (0.583724975585938 × 32768)
    floor (19127.5)     		tx = 19127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451461791992188 × 215)
    floor (0.451461791992188 × 32768)
    floor (14793.5)     		ty = 14793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19127 / 14793 ti = "15/19127/14793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19127/14793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19127 ÷ 215
    19127 ÷ 32768     		x = 0.583709716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14793 ÷ 215
    14793 ÷ 32768     		y = 0.451446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583709716796875 × 2 - 1) × π
    0.16741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52596366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451446533203125 × 2 - 1) × π
    0.09710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.305070429182037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52596366} λ = 0.52596366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305070429182037))-π/2
    2×atan(1.35672055236021)-π/2
    2×0.935620958670003-π/2
    1.87124191734001-1.57079632675     		φ = 0.30044559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52596366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.135498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30044559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.214264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19127 KachelY 14793 0.52596366 0.30044559 30.135498 17.214264
    Oben rechts KachelX + 1 19128 KachelY 14793 0.52615541 0.30044559 30.146484 17.214264
    Unten links KachelX 19127 KachelY + 1 14794 0.52596366 0.30026243 30.135498 17.203770
    Unten rechts KachelX + 1 19128 KachelY + 1 14794 0.52615541 0.30026243 30.146484 17.203770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30044559-0.30026243) × R
    0.00018315999999996 × 6371000     		dl = 1166.91235999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30044559-0.30026243) × R
    0.00018315999999996 × 6371000     		dr = 1166.91235999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52596366-0.52615541) × cos(0.30044559) × R
    0.000191749999999935 × 0.955204713439835 × 6371000     		do = 1166.91556972271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52596366-0.52615541) × cos(0.30026243) × R
    0.000191749999999935 × 0.955258902861887 × 6371000     		du = 1166.98176964762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30044559)-sin(0.30026243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955204713439835-0.955258902861887)×R²
    abs(0.52615541-0.52596366)×5.41894220518202e-05×R²
    0.000191749999999935×5.41894220518202e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.41894220518202e-05×40589641000000     		ar = 1361726.82994798m²