Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19126 / 14818
↖ ↑ ↗
← N 16.951724°
E 30.124512°		 ← 1 168.50 m → N 16.951724°
E 30.135498°		 →
↑
1 168.57 m
↓
↑
1 168.57 m
↓
N 16.941215°
E 30.124512°		 ← 1 168.56 m →
1 365 510 m²		 N 16.941215°
E 30.135498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583694458007812 y=0.452224731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583694458007812 × 215)
    floor (0.583694458007812 × 32768)
    floor (19126.5)     		tx = 19126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452224731445312 × 215)
    floor (0.452224731445312 × 32768)
    floor (14818.5)     		ty = 14818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19126 / 14818 ti = "15/19126/14818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19126/14818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19126 ÷ 215
    19126 ÷ 32768     		x = 0.58367919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14818 ÷ 215
    14818 ÷ 32768     		y = 0.45220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58367919921875 × 2 - 1) × π
    0.1673583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52577192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45220947265625 × 2 - 1) × π
    0.0955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.300276739220032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52577192} λ = 0.52577192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300276739220032))-π/2
    2×atan(1.35023241814353)-π/2
    2×0.933329864283841-π/2
    1.86665972856768-1.57079632675     		φ = 0.29586340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52577192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.124512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29586340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.951724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19126 KachelY 14818 0.52577192 0.29586340 30.124512 16.951724
    Oben rechts KachelX + 1 19127 KachelY 14818 0.52596366 0.29586340 30.135498 16.951724
    Unten links KachelX 19126 KachelY + 1 14819 0.52577192 0.29567998 30.124512 16.941215
    Unten rechts KachelX + 1 19127 KachelY + 1 14819 0.52596366 0.29567998 30.135498 16.941215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29586340-0.29567998) × R
    0.00018341999999999 × 6371000     		dl = 1168.56881999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29586340-0.29567998) × R
    0.00018341999999999 × 6371000     		dr = 1168.56881999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52577192-0.52596366) × cos(0.29586340) × R
    0.000191740000000107 × 0.956550760936975 × 6371000     		do = 1168.49901232965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52577192-0.52596366) × cos(0.29567998) × R
    0.000191740000000107 × 0.956604223853327 × 6371000     		du = 1168.56432132056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29586340)-sin(0.29567998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956550760936975-0.956604223853327)×R²
    abs(0.52596366-0.52577192)×5.34629163518874e-05×R²
    0.000191740000000107×5.34629163518874e-05×6371000²
    0.000191740000000107×5.34629163518874e-05×40589641000000     		ar = 1365509.6748625m²