Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19125 / 14815
↖ ↑ ↗
← N 16.983248°
E 30.113526°		 ← 1 168.36 m → N 16.983248°
E 30.124512°		 →
↑
1 168.38 m
↓
↑
1 168.38 m
↓
N 16.972741°
E 30.113526°		 ← 1 168.43 m →
1 365 128 m²		 N 16.972741°
E 30.124512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583663940429688 y=0.452133178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583663940429688 × 215)
    floor (0.583663940429688 × 32768)
    floor (19125.5)     		tx = 19125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452133178710938 × 215)
    floor (0.452133178710938 × 32768)
    floor (14815.5)     		ty = 14815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19125 / 14815 ti = "15/19125/14815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19125/14815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19125 ÷ 215
    19125 ÷ 32768     		x = 0.583648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14815 ÷ 215
    14815 ÷ 32768     		y = 0.452117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583648681640625 × 2 - 1) × π
    0.16729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52558017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452117919921875 × 2 - 1) × π
    0.09576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.300851982015472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52558017} λ = 0.52558017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300851982015472))-π/2
    2×atan(1.35100935305592)-π/2
    2×0.933604965665857-π/2
    1.86720993133171-1.57079632675     		φ = 0.29641360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52558017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.113526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29641360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.983248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19125 KachelY 14815 0.52558017 0.29641360 30.113526 16.983248
    Oben rechts KachelX + 1 19126 KachelY 14815 0.52577192 0.29641360 30.124512 16.983248
    Unten links KachelX 19125 KachelY + 1 14816 0.52558017 0.29623021 30.113526 16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 19126 KachelY + 1 14816 0.52577192 0.29623021 30.124512 16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29641360-0.29623021) × R
    0.000183390000000005 × 6371000     		dl = 1168.37769000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29641360-0.29623021) × R
    0.000183390000000005 × 6371000     		dr = 1168.37769000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52558017-0.52577192) × cos(0.29641360) × R
    0.000191749999999935 × 0.956390196633819 × 6371000     		do = 1168.3638025227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52558017-0.52577192) × cos(0.29623021) × R
    0.000191749999999935 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 1168.42922214299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29641360)-sin(0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956390196633819-0.956443747320158)×R²
    abs(0.52577192-0.52558017)×5.35506863397206e-05×R²
    0.000191749999999935×5.35506863397206e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.35506863397206e-05×40589641000000     		ar = 1365128.42190932m²