Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19123 / 14847
↖ ↑ ↗
← N 16.646718°
E 30.091553°		 ← 1 170.44 m → N 16.646718°
E 30.102539°		 →
↑
1 170.48 m
↓
↑
1 170.48 m
↓
N 16.636192°
E 30.091553°		 ← 1 170.50 m →
1 370 014 m²		 N 16.636192°
E 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583602905273438 y=0.453109741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583602905273438 × 215)
    floor (0.583602905273438 × 32768)
    floor (19123.5)     		tx = 19123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453109741210938 × 215)
    floor (0.453109741210938 × 32768)
    floor (14847.5)     		ty = 14847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19123 / 14847 ti = "15/19123/14847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19123/14847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19123 ÷ 215
    19123 ÷ 32768     		x = 0.583587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14847 ÷ 215
    14847 ÷ 32768     		y = 0.453094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583587646484375 × 2 - 1) × π
    0.16717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52519667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    0.09381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.294716058864105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52519667} λ = 0.52519667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294716058864105))-π/2
    2×atan(1.34274504400037)-π/2
    2×0.93066818321373-π/2
    1.86133636642746-1.57079632675     		φ = 0.29054004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52519667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.091553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29054004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.646718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19123 KachelY 14847 0.52519667 0.29054004 30.091553 16.646718
    Oben rechts KachelX + 1 19124 KachelY 14847 0.52538842 0.29054004 30.102539 16.646718
    Unten links KachelX 19123 KachelY + 1 14848 0.52519667 0.29035632 30.091553 16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 19124 KachelY + 1 14848 0.52538842 0.29035632 30.102539 16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29054004-0.29035632) × R
    0.000183719999999998 × 6371000     		dl = 1170.48011999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29054004-0.29035632) × R
    0.000183719999999998 × 6371000     		dr = 1170.48011999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52519667-0.52538842) × cos(0.29054004) × R
    0.000191749999999935 × 0.958089310147905 × 6371000     		do = 1170.43950628171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52519667-0.52538842) × cos(0.29035632) × R
    0.000191749999999935 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 1170.50378165672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29054004)-sin(0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958089310147905-0.958141924186794)×R²
    abs(0.52538842-0.52519667)×5.26140388892316e-05×R²
    0.000191749999999935×5.26140388892316e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.26140388892316e-05×40589641000000     		ar = 1370013.79414337m²