Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19122 / 14620
↖ ↑ ↗
← N 19.020577°
E 30.080566°		 ← 1 154.94 m → N 19.020577°
E 30.091553°		 →
↑
1 155 m
↓
↑
1 155 m
↓
N 19.010190°
E 30.080566°		 ← 1 155.01 m →
1 333 995 m²		 N 19.010190°
E 30.091553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583572387695312 y=0.446182250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583572387695312 × 215)
    floor (0.583572387695312 × 32768)
    floor (19122.5)     		tx = 19122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446182250976562 × 215)
    floor (0.446182250976562 × 32768)
    floor (14620.5)     		ty = 14620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19122 / 14620 ti = "15/19122/14620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19122/14620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19122 ÷ 215
    19122 ÷ 32768     		x = 0.58355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14620 ÷ 215
    14620 ÷ 32768     		y = 0.4461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58355712890625 × 2 - 1) × π
    0.1671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52500492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    0.107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.338242763719116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52500492} λ = 0.52500492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338242763719116))-π/2
    2×atan(1.40248093356903)-π/2
    2×0.951384011500799-π/2
    1.9027680230016-1.57079632675     		φ = 0.33197170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52500492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.080566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33197170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.020577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19122 KachelY 14620 0.52500492 0.33197170 30.080566 19.020577
    Oben rechts KachelX + 1 19123 KachelY 14620 0.52519667 0.33197170 30.091553 19.020577
    Unten links KachelX 19122 KachelY + 1 14621 0.52500492 0.33179041 30.080566 19.010190
    Unten rechts KachelX + 1 19123 KachelY + 1 14621 0.52519667 0.33179041 30.091553 19.010190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33197170-0.33179041) × R
    0.000181290000000001 × 6371000     		dl = 1154.99859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33197170-0.33179041) × R
    0.000181290000000001 × 6371000     		dr = 1154.99859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52500492-0.52519667) × cos(0.33197170) × R
    0.000191750000000046 × 0.945401589386343 × 6371000     		do = 1154.93968860702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52500492-0.52519667) × cos(0.33179041) × R
    0.000191750000000046 × 0.945460657658769 × 6371000     		du = 1155.01184872704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33197170)-sin(0.33179041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945401589386343-0.945460657658769)×R²
    abs(0.52519667-0.52500492)×5.90682724264102e-05×R²
    0.000191750000000046×5.90682724264102e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.90682724264102e-05×40589641000000     		ar = 1333995.38794825m²