Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19122 / 11946
↖ ↑ ↗
← N 81.237476°
W127.479858°		 ← 46.53 m → N 81.237476°
W127.477112°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
N 81.237058°
W127.479858°		 ← 46.53 m →
2 164 m²		 N 81.237058°
W127.477112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145893096923828 y=0.0911445617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145893096923828 × 217)
    floor (0.145893096923828 × 131072)
    floor (19122.5)     		tx = 19122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0911445617675781 × 217)
    floor (0.0911445617675781 × 131072)
    floor (11946.5)     		ty = 11946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19122 / 11946 ti = "17/19122/11946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19122/11946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19122 ÷ 217
    19122 ÷ 131072     		x = 0.145889282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11946 ÷ 217
    11946 ÷ 131072     		y = 0.0911407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145889282226562 × 2 - 1) × π
    -0.708221435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22494326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0911407470703125 × 2 - 1) × π
    0.817718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56893845063881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22494326} λ = -2.22494326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56893845063881))-π/2
    2×atan(13.0519617825957)-π/2
    2×1.49432888332239-π/2
    2.98865776664479-1.57079632675     		φ = 1.41786144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22494326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.479858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41786144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.237476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19122 KachelY 11946 -2.22494326 1.41786144 -127.479858 81.237476
    Oben rechts KachelX + 1 19123 KachelY 11946 -2.22489532 1.41786144 -127.477112 81.237476
    Unten links KachelX 19122 KachelY + 1 11947 -2.22494326 1.41785414 -127.479858 81.237058
    Unten rechts KachelX + 1 19123 KachelY + 1 11947 -2.22489532 1.41785414 -127.477112 81.237058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41786144-1.41785414) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41786144-1.41785414) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22494326--2.22489532) × cos(1.41786144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152339415890682 × 6371000     		do = 46.5283788295489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22494326--2.22489532) × cos(1.41785414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152346630682747 × 6371000     		du = 46.5305824127542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41786144)-sin(1.41785414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152339415890682-0.152346630682747)×R²
    abs(-2.22489532--2.22494326)×7.21479206478026e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21479206478026e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21479206478026e-06×40589641000000     		ar = 2164.00704369465m²