Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19121 / 14851
↖ ↑ ↗
← N 16.604610°
E 30.069580°		 ← 1 170.64 m → N 16.604610°
E 30.080566°		 →
↑
1 170.67 m
↓
↑
1 170.67 m
↓
N 16.594082°
E 30.069580°		 ← 1 170.70 m →
1 370 467 m²		 N 16.594082°
E 30.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583541870117188 y=0.453231811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583541870117188 × 215)
    floor (0.583541870117188 × 32768)
    floor (19121.5)     		tx = 19121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453231811523438 × 215)
    floor (0.453231811523438 × 32768)
    floor (14851.5)     		ty = 14851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19121 / 14851 ti = "15/19121/14851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19121/14851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19121 ÷ 215
    19121 ÷ 32768     		x = 0.583526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14851 ÷ 215
    14851 ÷ 32768     		y = 0.453216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583526611328125 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52481318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453216552734375 × 2 - 1) × π
    0.09356689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.293949068470184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52481318} λ = 0.52481318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.293949068470184))-π/2
    2×atan(1.34171556630035)-π/2
    2×0.930300720230151-π/2
    1.8606014404603-1.57079632675     		φ = 0.28980511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52481318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.069580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28980511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.604610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19121 KachelY 14851 0.52481318 0.28980511 30.069580 16.604610
    Oben rechts KachelX + 1 19122 KachelY 14851 0.52500492 0.28980511 30.080566 16.604610
    Unten links KachelX 19121 KachelY + 1 14852 0.52481318 0.28962136 30.069580 16.594082
    Unten rechts KachelX + 1 19122 KachelY + 1 14852 0.52500492 0.28962136 30.080566 16.594082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28980511-0.28962136) × R
    0.000183749999999983 × 6371000     		dl = 1170.67124999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28980511-0.28962136) × R
    0.000183749999999983 × 6371000     		dr = 1170.67124999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52481318-0.52500492) × cos(0.28980511) × R
    0.000191739999999996 × 0.958299586543432 × 6371000     		do = 1170.63533491354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52481318-0.52500492) × cos(0.28962136) × R
    0.000191739999999996 × 0.958352079769751 × 6371000     		du = 1170.69945935483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28980511)-sin(0.28962136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958299586543432-0.958352079769751)×R²
    abs(0.52500492-0.52481318)×5.24932263190614e-05×R²
    0.000191739999999996×5.24932263190614e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.24932263190614e-05×40589641000000     		ar = 1370466.6689931m²