Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19121 / 14798
↖ ↑ ↗
← N 17.161786°
E 30.069580°		 ← 1 167.19 m → N 17.161786°
E 30.080566°		 →
↑
1 167.29 m
↓
↑
1 167.29 m
↓
N 17.151288°
E 30.069580°		 ← 1 167.25 m →
1 362 488 m²		 N 17.151288°
E 30.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583541870117188 y=0.451614379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583541870117188 × 215)
    floor (0.583541870117188 × 32768)
    floor (19121.5)     		tx = 19121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451614379882812 × 215)
    floor (0.451614379882812 × 32768)
    floor (14798.5)     		ty = 14798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19121 / 14798 ti = "15/19121/14798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19121/14798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19121 ÷ 215
    19121 ÷ 32768     		x = 0.583526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14798 ÷ 215
    14798 ÷ 32768     		y = 0.45159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583526611328125 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52481318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45159912109375 × 2 - 1) × π
    0.0968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.304111691189636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52481318} λ = 0.52481318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304111691189636))-π/2
    2×atan(1.35542043615658)-π/2
    2×0.935162998242925-π/2
    1.87032599648585-1.57079632675     		φ = 0.29952967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52481318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.069580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29952967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.161786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19121 KachelY 14798 0.52481318 0.29952967 30.069580 17.161786
    Oben rechts KachelX + 1 19122 KachelY 14798 0.52500492 0.29952967 30.080566 17.161786
    Unten links KachelX 19121 KachelY + 1 14799 0.52481318 0.29934645 30.069580 17.151288
    Unten rechts KachelX + 1 19122 KachelY + 1 14799 0.52500492 0.29934645 30.080566 17.151288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29952967-0.29934645) × R
    0.000183220000000039 × 6371000     		dl = 1167.29462000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29952967-0.29934645) × R
    0.000183220000000039 × 6371000     		dr = 1167.29462000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52481318-0.52500492) × cos(0.29952967) × R
    0.000191739999999996 × 0.955475375474143 × 6371000     		do = 1167.1853477515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52481318-0.52500492) × cos(0.29934645) × R
    0.000191739999999996 × 0.955529422317636 × 6371000     		du = 1167.25137005353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29952967)-sin(0.29934645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955475375474143-0.955529422317636)×R²
    abs(0.52500492-0.52481318)×5.4046843493083e-05×R²
    0.000191739999999996×5.4046843493083e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.4046843493083e-05×40589641000000     		ar = 1362487.71452384m²