Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19121 / 14609
↖ ↑ ↗
← N 19.134789°
E 30.069580°		 ← 1 154.08 m → N 19.134789°
E 30.080566°		 →
↑
1 154.17 m
↓
↑
1 154.17 m
↓
N 19.124409°
E 30.069580°		 ← 1 154.16 m →
1 332 051 m²		 N 19.124409°
E 30.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583541870117188 y=0.445846557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583541870117188 × 215)
    floor (0.583541870117188 × 32768)
    floor (19121.5)     		tx = 19121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445846557617188 × 215)
    floor (0.445846557617188 × 32768)
    floor (14609.5)     		ty = 14609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19121 / 14609 ti = "15/19121/14609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19121/14609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19121 ÷ 215
    19121 ÷ 32768     		x = 0.583526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14609 ÷ 215
    14609 ÷ 32768     		y = 0.445831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583526611328125 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52481318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    0.10833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.340351987302399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52481318} λ = 0.52481318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340351987302399))-π/2
    2×atan(1.40544220131925)-π/2
    2×0.952380699898561-π/2
    1.90476139979712-1.57079632675     		φ = 0.33396507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52481318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.069580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33396507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.134789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19121 KachelY 14609 0.52481318 0.33396507 30.069580 19.134789
    Oben rechts KachelX + 1 19122 KachelY 14609 0.52500492 0.33396507 30.080566 19.134789
    Unten links KachelX 19121 KachelY + 1 14610 0.52481318 0.33378391 30.069580 19.124409
    Unten rechts KachelX + 1 19122 KachelY + 1 14610 0.52500492 0.33378391 30.080566 19.124409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33396507-0.33378391) × R
    0.000181159999999958 × 6371000     		dl = 1154.17035999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33396507-0.33378391) × R
    0.000181159999999958 × 6371000     		dr = 1154.17035999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52481318-0.52500492) × cos(0.33396507) × R
    0.000191739999999996 × 0.944750056879379 × 6371000     		do = 1154.08356089743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52481318-0.52500492) × cos(0.33378391) × R
    0.000191739999999996 × 0.94480942410163 × 6371000     		du = 1154.15608244401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33396507)-sin(0.33378391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944750056879379-0.94480942410163)×R²
    abs(0.52500492-0.52481318)×5.93672222507502e-05×R²
    0.000191739999999996×5.93672222507502e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.93672222507502e-05×40589641000000     		ar = 1332050.89370355m²