Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19120 / 14835
↖ ↑ ↗
← N 16.772987°
E 30.058594°		 ← 1 169.67 m → N 16.772987°
E 30.069580°		 →
↑
1 169.72 m
↓
↑
1 169.72 m
↓
N 16.762468°
E 30.058594°		 ← 1 169.73 m →
1 368 214 m²		 N 16.762468°
E 30.069580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583511352539062 y=0.452743530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583511352539062 × 215)
    floor (0.583511352539062 × 32768)
    floor (19120.5)     		tx = 19120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452743530273438 × 215)
    floor (0.452743530273438 × 32768)
    floor (14835.5)     		ty = 14835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19120 / 14835 ti = "15/19120/14835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19120/14835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19120 ÷ 215
    19120 ÷ 32768     		x = 0.58349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14835 ÷ 215
    14835 ÷ 32768     		y = 0.452728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452728271484375 × 2 - 1) × π
    0.09454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.297017030045868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52462143} λ = 0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297017030045868))-π/2
    2×atan(1.34583821893954)-π/2
    2×0.931770087063042-π/2
    1.86354017412608-1.57079632675     		φ = 0.29274385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29274385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.772987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19120 KachelY 14835 0.52462143 0.29274385 30.058594 16.772987
    Oben rechts KachelX + 1 19121 KachelY 14835 0.52481318 0.29274385 30.069580 16.772987
    Unten links KachelX 19120 KachelY + 1 14836 0.52462143 0.29256025 30.058594 16.762468
    Unten rechts KachelX + 1 19121 KachelY + 1 14836 0.52481318 0.29256025 30.069580 16.762468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29274385-0.29256025) × R
    0.000183600000000006 × 6371000     		dl = 1169.71560000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29274385-0.29256025) × R
    0.000183600000000006 × 6371000     		dr = 1169.71560000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52462143-0.52481318) × cos(0.29274385) × R
    0.000191749999999935 × 0.957455659315147 × 6371000     		do = 1169.66541355362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52462143-0.52481318) × cos(0.29256025) × R
    0.000191749999999935 × 0.957508626543065 × 6371000     		du = 1169.7301203982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29274385)-sin(0.29256025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957455659315147-0.957508626543065)×R²
    abs(0.52481318-0.52462143)×5.29672279182547e-05×R²
    0.000191749999999935×5.29672279182547e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.29672279182547e-05×40589641000000     		ar = 1368213.7291603m²