Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1912 / 1783
↖ ↑ ↗
← N 70.743478°
W 95.976562°		 ← 1 611.56 m → N 70.743478°
W 95.932617°		 →
↑
1 612.12 m
↓
↑
1 612.12 m
↓
N 70.728980°
W 95.976562°		 ← 1 612.72 m →
2 598 960 m²		 N 70.728980°
W 95.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23345947265625 y=0.21771240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23345947265625 × 213)
    floor (0.23345947265625 × 8192)
    floor (1912.5)     		tx = 1912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21771240234375 × 213)
    floor (0.21771240234375 × 8192)
    floor (1783.5)     		ty = 1783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1912 / 1783 ti = "13/1912/1783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1912/1783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1912 ÷ 213
    1912 ÷ 8192     		x = 0.2333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1783 ÷ 213
    1783 ÷ 8192     		y = 0.2176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2333984375 × 2 - 1) × π
    -0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2176513671875 × 2 - 1) × π
    0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67510702} λ = -1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77404878113904))-π/2
    2×atan(5.89467134610929)-π/2
    2×1.40275146927464-π/2
    2.80550293854928-1.57079632675     		φ = 1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1912 KachelY 1783 -1.67510702 1.23470661 -95.976562 70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 1913 KachelY 1783 -1.67434003 1.23470661 -95.932617 70.743478
    Unten links KachelX 1912 KachelY + 1 1784 -1.67510702 1.23445357 -95.976562 70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 1913 KachelY + 1 1784 -1.67434003 1.23445357 -95.932617 70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23470661-1.23445357) × R
    0.000253040000000038 × 6371000     		dl = 1612.11784000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23470661-1.23445357) × R
    0.000253040000000038 × 6371000     		dr = 1612.11784000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67510702--1.67434003) × cos(1.23470661) × R
    0.000766990000000023 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 1611.55627229859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67510702--1.67434003) × cos(1.23445357) × R
    0.000766990000000023 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 1612.72351983065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23470661)-sin(1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.330036986468592)×R²
    abs(-1.67434003--1.67510702)×0.000238872226520193×R²
    0.000766990000000023×0.000238872226520193×6371000²
    0.000766990000000023×0.000238872226520193×40589641000000     		ar = 2598959.50088749m²