Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1912 / 1272
↖ ↑ ↗
← N 56.170023°
W 11.953125°		 ← 5 440.92 m → N 56.170023°
W 11.865235°		 →
↑
5 444.40 m
↓
↑
5 444.40 m
↓
N 56.121060°
W 11.953125°		 ← 5 447.85 m →
29 641 425 m²		 N 56.121060°
W 11.865235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4669189453125 y=0.3106689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4669189453125 × 212)
    floor (0.4669189453125 × 4096)
    floor (1912.5)     		tx = 1912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3106689453125 × 212)
    floor (0.3106689453125 × 4096)
    floor (1272.5)     		ty = 1272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1912 / 1272 ti = "12/1912/1272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1912/1272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1912 ÷ 212
    1912 ÷ 4096     		x = 0.466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1272 ÷ 212
    1272 ÷ 4096     		y = 0.310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466796875 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310546875 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20862139} λ = -0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19036909136523))-π/2
    2×atan(3.2882946645981)-π/2
    2×1.2755740843745-π/2
    2.55114816874901-1.57079632675     		φ = 0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1912 KachelY 1272 -0.20862139 0.98035184 -11.953125 56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 1913 KachelY 1272 -0.20708741 0.98035184 -11.865235 56.170023
    Unten links KachelX 1912 KachelY + 1 1273 -0.20862139 0.97949728 -11.953125 56.121060
    Unten rechts KachelX + 1 1913 KachelY + 1 1273 -0.20708741 0.97949728 -11.865235 56.121060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98035184-0.97949728) × R
    0.000854559999999949 × 6371000     		dl = 5444.40175999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98035184-0.97949728) × R
    0.000854559999999949 × 6371000     		dr = 5444.40175999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20862139--0.20708741) × cos(0.98035184) × R
    0.00153397999999999 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 5440.91784928764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20862139--0.20708741) × cos(0.97949728) × R
    0.00153397999999999 × 0.557439983999297 × 6371000     		du = 5447.85348278051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98035184)-sin(0.97949728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.557439983999297)×R²
    abs(-0.20708741--0.20862139)×0.000709673899180974×R²
    0.00153397999999999×0.000709673899180974×6371000²
    0.00153397999999999×0.000709673899180974×40589641000000     		ar = 29641424.7061354m²