Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1912 / 1009
↖ ↑ ↗
← N 67.033163°
W 11.953125°		 ← 3 813.40 m → N 67.033163°
W 11.865235°		 →
↑
3 816.10 m
↓
↑
3 816.10 m
↓
N 66.998844°
W 11.953125°		 ← 3 818.79 m →
14 562 614 m²		 N 66.998844°
W 11.865235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4669189453125 y=0.2464599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4669189453125 × 212)
    floor (0.4669189453125 × 4096)
    floor (1912.5)     		tx = 1912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2464599609375 × 212)
    floor (0.2464599609375 × 4096)
    floor (1009.5)     		ty = 1009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1912 / 1009 ti = "12/1912/1009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1912/1009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1912 ÷ 212
    1912 ÷ 4096     		x = 0.466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1009 ÷ 212
    1009 ÷ 4096     		y = 0.246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466796875 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246337890625 × 2 - 1) × π
    0.50732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59380603856763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20862139} λ = -0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59380603856763))-π/2
    2×atan(4.92244834865808)-π/2
    2×1.3703728627453-π/2
    2.7407457254906-1.57079632675     		φ = 1.16994940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16994940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.033163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1912 KachelY 1009 -0.20862139 1.16994940 -11.953125 67.033163
    Oben rechts KachelX + 1 1913 KachelY 1009 -0.20708741 1.16994940 -11.865235 67.033163
    Unten links KachelX 1912 KachelY + 1 1010 -0.20862139 1.16935042 -11.953125 66.998844
    Unten rechts KachelX + 1 1913 KachelY + 1 1010 -0.20708741 1.16935042 -11.865235 66.998844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16994940-1.16935042) × R
    0.000598979999999916 × 6371000     		dl = 3816.10157999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16994940-1.16935042) × R
    0.000598979999999916 × 6371000     		dr = 3816.10157999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20862139--0.20708741) × cos(1.16994940) × R
    0.00153397999999999 × 0.390198273788991 × 6371000     		do = 3813.40249327896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20862139--0.20708741) × cos(1.16935042) × R
    0.00153397999999999 × 0.390749703126382 × 6371000     		du = 3818.79160479309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16994940)-sin(1.16935042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390198273788991-0.390749703126382)×R²
    abs(-0.20708741--0.20862139)×0.000551429337390885×R²
    0.00153397999999999×0.000551429337390885×6371000²
    0.00153397999999999×0.000551429337390885×40589641000000     		ar = 14562614.4136542m²