Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19118 / 14637
↖ ↑ ↗
← N 18.843913°
E 30.036621°		 ← 1 156.16 m → N 18.843913°
E 30.047607°		 →
↑
1 156.21 m
↓
↑
1 156.21 m
↓
N 18.833515°
E 30.036621°		 ← 1 156.23 m →
1 336 806 m²		 N 18.833515°
E 30.047607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583450317382812 y=0.446701049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583450317382812 × 215)
    floor (0.583450317382812 × 32768)
    floor (19118.5)     		tx = 19118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446701049804688 × 215)
    floor (0.446701049804688 × 32768)
    floor (14637.5)     		ty = 14637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19118 / 14637 ti = "15/19118/14637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19118/14637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19118 ÷ 215
    19118 ÷ 32768     		x = 0.58343505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14637 ÷ 215
    14637 ÷ 32768     		y = 0.446685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58343505859375 × 2 - 1) × π
    0.1668701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52423793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446685791015625 × 2 - 1) × π
    0.10662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.334983054544952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52423793} λ = 0.52423793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334983054544952))-π/2
    2×atan(1.39791669668722)-π/2
    2×0.949842328052825-π/2
    1.89968465610565-1.57079632675     		φ = 0.32888833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52423793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.036621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32888833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.843913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19118 KachelY 14637 0.52423793 0.32888833 30.036621 18.843913
    Oben rechts KachelX + 1 19119 KachelY 14637 0.52442968 0.32888833 30.047607 18.843913
    Unten links KachelX 19118 KachelY + 1 14638 0.52423793 0.32870685 30.036621 18.833515
    Unten rechts KachelX + 1 19119 KachelY + 1 14638 0.52442968 0.32870685 30.047607 18.833515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32888833-0.32870685) × R
    0.000181480000000012 × 6371000     		dl = 1156.20908000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32888833-0.32870685) × R
    0.000181480000000012 × 6371000     		dr = 1156.20908000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52423793-0.52442968) × cos(0.32888833) × R
    0.000191750000000046 × 0.946401987803243 × 6371000     		do = 1156.16181457874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52423793-0.52442968) × cos(0.32870685) × R
    0.000191750000000046 × 0.946460588650409 × 6371000     		du = 1156.23340367372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32888833)-sin(0.32870685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946401987803243-0.946460588650409)×R²
    abs(0.52442968-0.52423793)×5.86008471660238e-05×R²
    0.000191750000000046×5.86008471660238e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.86008471660238e-05×40589641000000     		ar = 1336806.17761539m²