Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19118 / 14622
↖ ↑ ↗
← N 18.999803°
E 30.036621°		 ← 1 155.08 m → N 18.999803°
E 30.047607°		 →
↑
1 155.13 m
↓
↑
1 155.13 m
↓
N 18.989415°
E 30.036621°		 ← 1 155.16 m →
1 334 309 m²		 N 18.989415°
E 30.047607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583450317382812 y=0.446243286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583450317382812 × 215)
    floor (0.583450317382812 × 32768)
    floor (19118.5)     		tx = 19118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446243286132812 × 215)
    floor (0.446243286132812 × 32768)
    floor (14622.5)     		ty = 14622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19118 / 14622 ti = "15/19118/14622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19118/14622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19118 ÷ 215
    19118 ÷ 32768     		x = 0.58343505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14622 ÷ 215
    14622 ÷ 32768     		y = 0.44622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58343505859375 × 2 - 1) × π
    0.1668701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52423793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    0.1075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.337859268522156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52423793} λ = 0.52423793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337859268522156))-π/2
    2×atan(1.40194319198442)-π/2
    2×0.951202721691239-π/2
    1.90240544338248-1.57079632675     		φ = 0.33160912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52423793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.036621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33160912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.999803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19118 KachelY 14622 0.52423793 0.33160912 30.036621 18.999803
    Oben rechts KachelX + 1 19119 KachelY 14622 0.52442968 0.33160912 30.047607 18.999803
    Unten links KachelX 19118 KachelY + 1 14623 0.52423793 0.33142781 30.036621 18.989415
    Unten rechts KachelX + 1 19119 KachelY + 1 14623 0.52442968 0.33142781 30.047607 18.989415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33160912-0.33142781) × R
    0.00018130999999999 × 6371000     		dl = 1155.12600999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33160912-0.33142781) × R
    0.00018130999999999 × 6371000     		dr = 1155.12600999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52423793-0.52442968) × cos(0.33160912) × R
    0.000191750000000046 × 0.945519694857625 × 6371000     		do = 1155.08397088638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52423793-0.52442968) × cos(0.33142781) × R
    0.000191750000000046 × 0.94557870748884 × 6371000     		du = 1155.15606303291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33160912)-sin(0.33142781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945519694857625-0.94557870748884)×R²
    abs(0.52442968-0.52423793)×5.9012631214661e-05×R²
    0.000191750000000046×5.9012631214661e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.9012631214661e-05×40589641000000     		ar = 1334309.17991693m²