Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19117 / 14639
↖ ↑ ↗
← N 18.823117°
E 30.025635°		 ← 1 156.24 m → N 18.823117°
E 30.036621°		 →
↑
1 156.34 m
↓
↑
1 156.34 m
↓
N 18.812718°
E 30.025635°		 ← 1 156.32 m →
1 337 049 m²		 N 18.812718°
E 30.036621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583419799804688 y=0.446762084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583419799804688 × 215)
    floor (0.583419799804688 × 32768)
    floor (19117.5)     		tx = 19117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446762084960938 × 215)
    floor (0.446762084960938 × 32768)
    floor (14639.5)     		ty = 14639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19117 / 14639 ti = "15/19117/14639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19117/14639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19117 ÷ 215
    19117 ÷ 32768     		x = 0.583404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14639 ÷ 215
    14639 ÷ 32768     		y = 0.446746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583404541015625 × 2 - 1) × π
    0.16680908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52404619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446746826171875 × 2 - 1) × π
    0.10650634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.334599559347992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52404619} λ = 0.52404619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334599559347992))-π/2
    2×atan(1.39738070512995)-π/2
    2×0.949660846508985-π/2
    1.89932169301797-1.57079632675     		φ = 0.32852537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52404619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.025635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32852537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.823117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19117 KachelY 14639 0.52404619 0.32852537 30.025635 18.823117
    Oben rechts KachelX + 1 19118 KachelY 14639 0.52423793 0.32852537 30.036621 18.823117
    Unten links KachelX 19117 KachelY + 1 14640 0.52404619 0.32834387 30.025635 18.812718
    Unten rechts KachelX + 1 19118 KachelY + 1 14640 0.52423793 0.32834387 30.036621 18.812718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32852537-0.32834387) × R
    0.000181500000000001 × 6371000     		dl = 1156.33650000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32852537-0.32834387) × R
    0.000181500000000001 × 6371000     		dr = 1156.33650000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52404619-0.52423793) × cos(0.32852537) × R
    0.000191739999999996 × 0.946519158325905 × 6371000     		do = 1156.24465195229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52404619-0.52423793) × cos(0.32834387) × R
    0.000191739999999996 × 0.946577703277318 × 6371000     		du = 1156.31616903292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32852537)-sin(0.32834387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946519158325905-0.946577703277318)×R²
    abs(0.52423793-0.52404619)×5.85449514128866e-05×R²
    0.000191739999999996×5.85449514128866e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.85449514128866e-05×40589641000000     		ar = 1337049.24655815m²