Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19116 / 14834
↖ ↑ ↗
← N 16.783505°
E 30.014648°		 ← 1 169.60 m → N 16.783505°
E 30.025635°		 →
↑
1 169.59 m
↓
↑
1 169.59 m
↓
N 16.772987°
E 30.014648°		 ← 1 169.67 m →
1 367 989 m²		 N 16.772987°
E 30.025635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583389282226562 y=0.452713012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583389282226562 × 215)
    floor (0.583389282226562 × 32768)
    floor (19116.5)     		tx = 19116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452713012695312 × 215)
    floor (0.452713012695312 × 32768)
    floor (14834.5)     		ty = 14834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19116 / 14834 ti = "15/19116/14834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19116/14834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19116 ÷ 215
    19116 ÷ 32768     		x = 0.5833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14834 ÷ 215
    14834 ÷ 32768     		y = 0.45269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45269775390625 × 2 - 1) × π
    0.0946044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.297208777644348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52385444} λ = 0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297208777644348))-π/2
    2×atan(1.34609630492885)-π/2
    2×0.931861879434592-π/2
    1.86372375886918-1.57079632675     		φ = 0.29292743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29292743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.783505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19116 KachelY 14834 0.52385444 0.29292743 30.014648 16.783505
    Oben rechts KachelX + 1 19117 KachelY 14834 0.52404619 0.29292743 30.025635 16.783505
    Unten links KachelX 19116 KachelY + 1 14835 0.52385444 0.29274385 30.014648 16.772987
    Unten rechts KachelX + 1 19117 KachelY + 1 14835 0.52404619 0.29274385 30.025635 16.772987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29292743-0.29274385) × R
    0.000183579999999961 × 6371000     		dl = 1169.58817999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29292743-0.29274385) × R
    0.000183579999999961 × 6371000     		dr = 1169.58817999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52385444-0.52404619) × cos(0.29292743) × R
    0.000191749999999935 × 0.957402665587518 × 6371000     		do = 1169.60067433594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52385444-0.52404619) × cos(0.29274385) × R
    0.000191749999999935 × 0.957455659315147 × 6371000     		du = 1169.66541355362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29292743)-sin(0.29274385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957402665587518-0.957455659315147)×R²
    abs(0.52404619-0.52385444)×5.29937276285697e-05×R²
    0.000191749999999935×5.29937276285697e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.29937276285697e-05×40589641000000     		ar = 1367988.98697688m²