Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19116 / 14623
↖ ↑ ↗
← N 18.989415°
E 30.014648°		 ← 1 155.16 m → N 18.989415°
E 30.025635°		 →
↑
1 155.19 m
↓
↑
1 155.19 m
↓
N 18.979026°
E 30.014648°		 ← 1 155.23 m →
1 334 466 m²		 N 18.979026°
E 30.025635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583389282226562 y=0.446273803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583389282226562 × 215)
    floor (0.583389282226562 × 32768)
    floor (19116.5)     		tx = 19116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446273803710938 × 215)
    floor (0.446273803710938 × 32768)
    floor (14623.5)     		ty = 14623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19116 / 14623 ti = "15/19116/14623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19116/14623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19116 ÷ 215
    19116 ÷ 32768     		x = 0.5833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14623 ÷ 215
    14623 ÷ 32768     		y = 0.446258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446258544921875 × 2 - 1) × π
    0.10748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.337667520923676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52385444} λ = 0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337667520923676))-π/2
    2×atan(1.40167439851523)-π/2
    2×0.951112068296679-π/2
    1.90222413659336-1.57079632675     		φ = 0.33142781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33142781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.989415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19116 KachelY 14623 0.52385444 0.33142781 30.014648 18.989415
    Oben rechts KachelX + 1 19117 KachelY 14623 0.52404619 0.33142781 30.025635 18.989415
    Unten links KachelX 19116 KachelY + 1 14624 0.52385444 0.33124649 30.014648 18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 19117 KachelY + 1 14624 0.52404619 0.33124649 30.025635 18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33142781-0.33124649) × R
    0.000181319999999985 × 6371000     		dl = 1155.1897199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33142781-0.33124649) × R
    0.000181319999999985 × 6371000     		dr = 1155.1897199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52385444-0.52404619) × cos(0.33142781) × R
    0.000191749999999935 × 0.94557870748884 × 6371000     		do = 1155.15606303224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52385444-0.52404619) × cos(0.33124649) × R
    0.000191749999999935 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 1155.22812117801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33142781)-sin(0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94557870748884-0.945637692287967)×R²
    abs(0.52404619-0.52385444)×5.89847991271375e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89847991271375e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89847991271375e-05×40589641000000     		ar = 1334466.03308121m²