Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19116 / 10956
↖ ↑ ↗
← N 81.642137°
W127.496338°		 ← 44.40 m → N 81.642137°
W127.493591°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
N 81.641738°
W127.496338°		 ← 44.40 m →
1 969 m²		 N 81.641738°
W127.493591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145847320556641 y=0.0835914611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145847320556641 × 217)
    floor (0.145847320556641 × 131072)
    floor (19116.5)     		tx = 19116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835914611816406 × 217)
    floor (0.0835914611816406 × 131072)
    floor (10956.5)     		ty = 10956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19116 / 10956 ti = "17/19116/10956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19116/10956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19116 ÷ 217
    19116 ÷ 131072     		x = 0.145843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10956 ÷ 217
    10956 ÷ 131072     		y = 0.083587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.70831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22523088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083587646484375 × 2 - 1) × π
    0.83282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61639598126266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22523088} λ = -2.22523088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61639598126266))-π/2
    2×atan(13.6863088791566)-π/2
    2×1.49786021566415-π/2
    2.9957204313283-1.57079632675     		φ = 1.42492410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22523088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.496338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42492410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.642137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19116 KachelY 10956 -2.22523088 1.42492410 -127.496338 81.642137
    Oben rechts KachelX + 1 19117 KachelY 10956 -2.22518294 1.42492410 -127.493591 81.642137
    Unten links KachelX 19116 KachelY + 1 10957 -2.22523088 1.42491714 -127.496338 81.641738
    Unten rechts KachelX + 1 19117 KachelY + 1 10957 -2.22518294 1.42491714 -127.493591 81.641738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42492410-1.42491714) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dl = 44.3421599992946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42492410-1.42491714) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dr = 44.3421599992946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22523088--2.22518294) × cos(1.42492410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14535544820246 × 6371000     		do = 44.395295330239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22523088--2.22518294) × cos(1.42491714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145362334280255 × 6371000     		du = 44.3973985156451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42492410)-sin(1.42491714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14535544820246-0.145362334280255)×R²
    abs(-2.22518294--2.22523088)×6.88607779447681e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.88607779447681e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.88607779447681e-06×40589641000000     		ar = 1968.62991864245m²