Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19111 / 10953
↖ ↑ ↗
← N 81.643335°
W127.510071°		 ← 44.38 m → N 81.643335°
W127.507324°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
N 81.642936°
W127.510071°		 ← 44.38 m →
1 971 m²		 N 81.642936°
W127.507324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145809173583984 y=0.0835685729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145809173583984 × 217)
    floor (0.145809173583984 × 131072)
    floor (19111.5)     		tx = 19111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835685729980469 × 217)
    floor (0.0835685729980469 × 131072)
    floor (10953.5)     		ty = 10953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19111 / 10953 ti = "17/19111/10953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19111/10953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19111 ÷ 217
    19111 ÷ 131072     		x = 0.145805358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10953 ÷ 217
    10953 ÷ 131072     		y = 0.0835647583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145805358886719 × 2 - 1) × π
    -0.708389282226562 × 3.1415926535     		Λ = -2.22547056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0835647583007812 × 2 - 1) × π
    0.832870483398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.61653979196153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22547056} λ = -2.22547056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61653979196153))-π/2
    2×atan(13.6882772583349)-π/2
    2×1.49787066675459-π/2
    2.99574133350919-1.57079632675     		φ = 1.42494501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22547056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.510071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42494501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.643335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19111 KachelY 10953 -2.22547056 1.42494501 -127.510071 81.643335
    Oben rechts KachelX + 1 19112 KachelY 10953 -2.22542263 1.42494501 -127.507324 81.643335
    Unten links KachelX 19111 KachelY + 1 10954 -2.22547056 1.42493804 -127.510071 81.642936
    Unten rechts KachelX + 1 19112 KachelY + 1 10954 -2.22542263 1.42493804 -127.507324 81.642936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42494501-1.42493804) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42494501-1.42493804) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22547056--2.22542263) × cos(1.42494501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145334760245354 × 6371000     		do = 44.3797174181118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22547056--2.22542263) × cos(1.42493804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145341656238117 × 6371000     		du = 44.3818231924608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42494501)-sin(1.42493804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145334760245354-0.145341656238117)×R²
    abs(-2.22542263--2.22547056)×6.89599276301744e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.89599276301744e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.89599276301744e-06×40589641000000     		ar = 1970.76671652658m²