Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1911 / 439
↖ ↑ ↗
← N 71.130988°
E155.917969°		 ← 6 321.28 m → N 71.130988°
E156.093750°		 →
↑
6 330.48 m
↓
↑
6 330.48 m
↓
N 71.074057°
E155.917969°		 ← 6 339.65 m →
40 074 896 m²		 N 71.074057°
E156.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933349609375 y=0.214599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933349609375 × 211)
    floor (0.933349609375 × 2048)
    floor (1911.5)     		tx = 1911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214599609375 × 211)
    floor (0.214599609375 × 2048)
    floor (439.5)     		ty = 439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1911 / 439 ti = "11/1911/439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1911/439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1911 ÷ 211
    1911 ÷ 2048     		x = 0.93310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 439 ÷ 211
    439 ÷ 2048     		y = 0.21435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93310546875 × 2 - 1) × π
    0.8662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72128192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21435546875 × 2 - 1) × π
    0.5712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72128192} λ = 2.72128192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7947575217749))-π/2
    2×atan(6.01801530720597)-π/2
    2×1.40613313124947-π/2
    2.81226626249895-1.57079632675     		φ = 1.24146994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72128192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24146994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.130988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1911 KachelY 439 2.72128192 1.24146994 155.917969 71.130988
    Oben rechts KachelX + 1 1912 KachelY 439 2.72434988 1.24146994 156.093750 71.130988
    Unten links KachelX 1911 KachelY + 1 440 2.72128192 1.24047630 155.917969 71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 1912 KachelY + 1 440 2.72434988 1.24047630 156.093750 71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24146994-1.24047630) × R
    0.000993639999999907 × 6371000     		dl = 6330.48043999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24146994-1.24047630) × R
    0.000993639999999907 × 6371000     		dr = 6330.48043999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72128192-2.72434988) × cos(1.24146994) × R
    0.00306796000000009 × 0.323405688309846 × 6371000     		do = 6321.27890349576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72128192-2.72434988) × cos(1.24047630) × R
    0.00306796000000009 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 6339.65372856329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24146994)-sin(1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323405688309846-0.324345770694955)×R²
    abs(2.72434988-2.72128192)×0.00094008238510912×R²
    0.00306796000000009×0.00094008238510912×6371000²
    0.00306796000000009×0.00094008238510912×40589641000000     		ar = 40074896.4869355m²