Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1911 / 1785
↖ ↑ ↗
← N 70.714471°
W 96.020508°		 ← 1 613.89 m → N 70.714471°
W 95.976562°		 →
↑
1 614.48 m
↓
↑
1 614.48 m
↓
N 70.699951°
W 96.020508°		 ← 1 615.06 m →
2 606 531 m²		 N 70.699951°
W 95.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23333740234375 y=0.21795654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23333740234375 × 213)
    floor (0.23333740234375 × 8192)
    floor (1911.5)     		tx = 1911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21795654296875 × 213)
    floor (0.21795654296875 × 8192)
    floor (1785.5)     		ty = 1785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1911 / 1785 ti = "13/1911/1785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1911/1785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1911 ÷ 213
    1911 ÷ 8192     		x = 0.2332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1785 ÷ 213
    1785 ÷ 8192     		y = 0.2178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.67587401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2178955078125 × 2 - 1) × π
    0.564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7725148003512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67587401} λ = -1.67587401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7725148003512))-π/2
    2×atan(5.88563596533573)-π/2
    2×1.40249833405564-π/2
    2.80499666811129-1.57079632675     		φ = 1.23420034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67587401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23420034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1911 KachelY 1785 -1.67587401 1.23420034 -96.020508 70.714471
    Oben rechts KachelX + 1 1912 KachelY 1785 -1.67510702 1.23420034 -95.976562 70.714471
    Unten links KachelX 1911 KachelY + 1 1786 -1.67587401 1.23394693 -96.020508 70.699951
    Unten rechts KachelX + 1 1912 KachelY + 1 1786 -1.67510702 1.23394693 -95.976562 70.699951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23420034-1.23394693) × R
    0.000253409999999787 × 6371000     		dl = 1614.47510999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23420034-1.23394693) × R
    0.000253409999999787 × 6371000     		dr = 1614.47510999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67587401--1.67510702) × cos(1.23420034) × R
    0.000766990000000023 × 0.330276016901136 × 6371000     		do = 1613.89154043538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67587401--1.67510702) × cos(1.23394693) × R
    0.000766990000000023 × 0.330515196038713 × 6371000     		du = 1615.06028768625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23420034)-sin(1.23394693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330276016901136-0.330515196038713)×R²
    abs(-1.67510702--1.67587401)×0.000239179137576817×R²
    0.000766990000000023×0.000239179137576817×6371000²
    0.000766990000000023×0.000239179137576817×40589641000000     		ar = 2606531.19289458m²