Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19108 / 14812
↖ ↑ ↗
← N 17.014767°
E 29.926758°		 ← 1 168.17 m → N 17.014767°
E 29.937744°		 →
↑
1 168.12 m
↓
↑
1 168.12 m
↓
N 17.004262°
E 29.926758°		 ← 1 168.23 m →
1 364 601 m²		 N 17.004262°
E 29.937744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583145141601562 y=0.452041625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583145141601562 × 215)
    floor (0.583145141601562 × 32768)
    floor (19108.5)     		tx = 19108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452041625976562 × 215)
    floor (0.452041625976562 × 32768)
    floor (14812.5)     		ty = 14812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19108 / 14812 ti = "15/19108/14812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19108/14812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19108 ÷ 215
    19108 ÷ 32768     		x = 0.5831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14812 ÷ 215
    14812 ÷ 32768     		y = 0.4520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5831298828125 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    0.095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.301427224810913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52232046} λ = 0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.301427224810913))-π/2
    2×atan(1.35178673502309)-π/2
    2×0.933880020828159-π/2
    1.86776004165632-1.57079632675     		φ = 0.29696371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29696371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.014767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19108 KachelY 14812 0.52232046 0.29696371 29.926758 17.014767
    Oben rechts KachelX + 1 19109 KachelY 14812 0.52251221 0.29696371 29.937744 17.014767
    Unten links KachelX 19108 KachelY + 1 14813 0.52232046 0.29678036 29.926758 17.004262
    Unten rechts KachelX + 1 19109 KachelY + 1 14813 0.52251221 0.29678036 29.937744 17.004262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29696371-0.29678036) × R
    0.000183349999999971 × 6371000     		dl = 1168.12284999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29696371-0.29678036) × R
    0.000183349999999971 × 6371000     		dr = 1168.12284999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52232046-0.52251221) × cos(0.29696371) × R
    0.000191750000000046 × 0.95622936914783 × 6371000     		do = 1168.16732935401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52232046-0.52251221) × cos(0.29678036) × R
    0.000191750000000046 × 0.956283004616163 × 6371000     		du = 1168.23285254732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29696371)-sin(0.29678036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95622936914783-0.956283004616163)×R²
    abs(0.52251221-0.52232046)×5.36354683329243e-05×R²
    0.000191750000000046×5.36354683329243e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.36354683329243e-05×40589641000000     		ar = 1364601.22343446m²