Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19107 / 14842
↖ ↑ ↗
← N 16.699340°
E 29.915771°		 ← 1 170.12 m → N 16.699340°
E 29.926758°		 →
↑
1 170.16 m
↓
↑
1 170.16 m
↓
N 16.688817°
E 29.915771°		 ← 1 170.18 m →
1 369 264 m²		 N 16.688817°
E 29.926758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583114624023438 y=0.452957153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583114624023438 × 215)
    floor (0.583114624023438 × 32768)
    floor (19107.5)     		tx = 19107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452957153320312 × 215)
    floor (0.452957153320312 × 32768)
    floor (14842.5)     		ty = 14842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19107 / 14842 ti = "15/19107/14842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19107/14842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19107 ÷ 215
    19107 ÷ 32768     		x = 0.583099365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14842 ÷ 215
    14842 ÷ 32768     		y = 0.45294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583099365234375 × 2 - 1) × π
    0.16619873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52212871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45294189453125 × 2 - 1) × π
    0.0941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.295674796856506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52212871} λ = 0.52212871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295674796856506))-π/2
    2×atan(1.34403300199663)-π/2
    2×0.931127398395619-π/2
    1.86225479679124-1.57079632675     		φ = 0.29145847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52212871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.915771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29145847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.699340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19107 KachelY 14842 0.52212871 0.29145847 29.915771 16.699340
    Oben rechts KachelX + 1 19108 KachelY 14842 0.52232046 0.29145847 29.926758 16.699340
    Unten links KachelX 19107 KachelY + 1 14843 0.52212871 0.29127480 29.915771 16.688817
    Unten rechts KachelX + 1 19108 KachelY + 1 14843 0.52232046 0.29127480 29.926758 16.688817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29145847-0.29127480) × R
    0.000183670000000025 × 6371000     		dl = 1170.16157000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29145847-0.29127480) × R
    0.000183670000000025 × 6371000     		dr = 1170.16157000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52212871-0.52232046) × cos(0.29145847) × R
    0.000191749999999935 × 0.957825803762065 × 6371000     		do = 1170.11759653814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52212871-0.52232046) × cos(0.29127480) × R
    0.000191749999999935 × 0.957878565086706 × 6371000     		du = 1170.1820518432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29145847)-sin(0.29127480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957825803762065-0.957878565086706)×R²
    abs(0.52232046-0.52212871)×5.27613246414926e-05×R²
    0.000191749999999935×5.27613246414926e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.27613246414926e-05×40589641000000     		ar = 1369264.35925953m²