Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19107 / 14487
↖ ↑ ↗
← N 20.396124°
E 29.915771°		 ← 1 145.05 m → N 20.396124°
E 29.926758°		 →
↑
1 145.12 m
↓
↑
1 145.12 m
↓
N 20.385825°
E 29.915771°		 ← 1 145.13 m →
1 311 267 m²		 N 20.385825°
E 29.926758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583114624023438 y=0.442123413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583114624023438 × 215)
    floor (0.583114624023438 × 32768)
    floor (19107.5)     		tx = 19107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442123413085938 × 215)
    floor (0.442123413085938 × 32768)
    floor (14487.5)     		ty = 14487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19107 / 14487 ti = "15/19107/14487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19107/14487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19107 ÷ 215
    19107 ÷ 32768     		x = 0.583099365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14487 ÷ 215
    14487 ÷ 32768     		y = 0.442108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583099365234375 × 2 - 1) × π
    0.16619873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52212871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442108154296875 × 2 - 1) × π
    0.11578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363745194316986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52212871} λ = 0.52212871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363745194316986))-π/2
    2×atan(1.43870757658265)-π/2
    2×0.963387916266176-π/2
    1.92677583253235-1.57079632675     		φ = 0.35597951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52212871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.915771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35597951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.396124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19107 KachelY 14487 0.52212871 0.35597951 29.915771 20.396124
    Oben rechts KachelX + 1 19108 KachelY 14487 0.52232046 0.35597951 29.926758 20.396124
    Unten links KachelX 19107 KachelY + 1 14488 0.52212871 0.35579977 29.915771 20.385825
    Unten rechts KachelX + 1 19108 KachelY + 1 14488 0.52232046 0.35579977 29.926758 20.385825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35597951-0.35579977) × R
    0.000179739999999984 × 6371000     		dl = 1145.1235399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35597951-0.35579977) × R
    0.000179739999999984 × 6371000     		dr = 1145.1235399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52212871-0.52232046) × cos(0.35597951) × R
    0.000191749999999935 × 0.937305570827478 × 6371000     		do = 1145.04927456611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52212871-0.52232046) × cos(0.35579977) × R
    0.000191749999999935 × 0.937368196628222 × 6371000     		du = 1145.12578070237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35597951)-sin(0.35579977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937305570827478-0.937368196628222)×R²
    abs(0.52232046-0.52212871)×6.26258007442315e-05×R²
    0.000191749999999935×6.26258007442315e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.26258007442315e-05×40589641000000     		ar = 1311266.68678427m²