Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19105 / 11937
↖ ↑ ↗
← N 81.241241°
W127.526551°		 ← 46.51 m → N 81.241241°
W127.523804°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
N 81.240823°
W127.526551°		 ← 46.51 m →
2 163 m²		 N 81.240823°
W127.523804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145763397216797 y=0.0910758972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145763397216797 × 217)
    floor (0.145763397216797 × 131072)
    floor (19105.5)     		tx = 19105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0910758972167969 × 217)
    floor (0.0910758972167969 × 131072)
    floor (11937.5)     		ty = 11937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19105 / 11937 ti = "17/19105/11937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19105/11937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19105 ÷ 217
    19105 ÷ 131072     		x = 0.145759582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11937 ÷ 217
    11937 ÷ 131072     		y = 0.0910720825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145759582519531 × 2 - 1) × π
    -0.708480834960938 × 3.1415926535     		Λ = -2.22575819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0910720825195312 × 2 - 1) × π
    0.817855834960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.56936988273539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22575819} λ = -2.22575819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56936988273539))-π/2
    2×atan(13.0575940327114)-π/2
    2×1.49436173837406-π/2
    2.98872347674812-1.57079632675     		φ = 1.41792715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22575819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.526551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41792715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.241241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19105 KachelY 11937 -2.22575819 1.41792715 -127.526551 81.241241
    Oben rechts KachelX + 1 19106 KachelY 11937 -2.22571025 1.41792715 -127.523804 81.241241
    Unten links KachelX 19105 KachelY + 1 11938 -2.22575819 1.41791985 -127.526551 81.240823
    Unten rechts KachelX + 1 19106 KachelY + 1 11938 -2.22571025 1.41791985 -127.523804 81.240823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41792715-1.41791985) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dl = 46.5082999988617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41792715-1.41791985) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dr = 46.5082999988617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22575819--2.22571025) × cos(1.41792715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152274472513446 × 6371000     		do = 46.5085434504985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22575819--2.22571025) × cos(1.41791985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152281687378571 × 6371000     		du = 46.5107470560183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41792715)-sin(1.41791985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152274472513446-0.152281687378571)×R²
    abs(-2.22571025--2.22575819)×7.21486512531011e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21486512531011e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21486512531011e-06×40589641000000     		ar = 2163.08453414147m²