Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19103 / 14826
↖ ↑ ↗
← N 16.867633°
E 29.871826°		 ← 1 169.08 m → N 16.867633°
E 29.882813°		 →
↑
1 169.08 m
↓
↑
1 169.08 m
↓
N 16.857120°
E 29.871826°		 ← 1 169.15 m →
1 366 786 m²		 N 16.857120°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582992553710938 y=0.452468872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582992553710938 × 215)
    floor (0.582992553710938 × 32768)
    floor (19103.5)     		tx = 19103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452468872070312 × 215)
    floor (0.452468872070312 × 32768)
    floor (14826.5)     		ty = 14826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19103 / 14826 ti = "15/19103/14826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19103/14826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19103 ÷ 215
    19103 ÷ 32768     		x = 0.582977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14826 ÷ 215
    14826 ÷ 32768     		y = 0.45245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582977294921875 × 2 - 1) × π
    0.16595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52136172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    0.0950927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.29874275843219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52136172} λ = 0.52136172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29874275843219))-π/2
    2×atan(1.34816277535695)-π/2
    2×0.932596035210016-π/2
    1.86519207042003-1.57079632675     		φ = 0.29439574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52136172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.871826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29439574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.867633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19103 KachelY 14826 0.52136172 0.29439574 29.871826 16.867633
    Oben rechts KachelX + 1 19104 KachelY 14826 0.52155347 0.29439574 29.882813 16.867633
    Unten links KachelX 19103 KachelY + 1 14827 0.52136172 0.29421224 29.871826 16.857120
    Unten rechts KachelX + 1 19104 KachelY + 1 14827 0.52155347 0.29421224 29.882813 16.857120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29439574-0.29421224) × R
    0.000183500000000003 × 6371000     		dl = 1169.07850000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29439574-0.29421224) × R
    0.000183500000000003 × 6371000     		dr = 1169.07850000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52136172-0.52155347) × cos(0.29439574) × R
    0.000191749999999935 × 0.95697765009351 × 6371000     		do = 1169.0814587266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52136172-0.52155347) × cos(0.29421224) × R
    0.000191749999999935 × 0.957030878642322 × 6371000     		du = 1169.14648481105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29439574)-sin(0.29421224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95697765009351-0.957030878642322)×R²
    abs(0.52155347-0.52136172)×5.32285488124007e-05×R²
    0.000191749999999935×5.32285488124007e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.32285488124007e-05×40589641000000     		ar = 1366786.01227978m²