Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19103 / 14499
↖ ↑ ↗
← N 20.272503°
E 29.871826°		 ← 1 145.97 m → N 20.272503°
E 29.882813°		 →
↑
1 146.02 m
↓
↑
1 146.02 m
↓
N 20.262197°
E 29.871826°		 ← 1 146.04 m →
1 313 337 m²		 N 20.262197°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582992553710938 y=0.442489624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582992553710938 × 215)
    floor (0.582992553710938 × 32768)
    floor (19103.5)     		tx = 19103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442489624023438 × 215)
    floor (0.442489624023438 × 32768)
    floor (14499.5)     		ty = 14499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19103 / 14499 ti = "15/19103/14499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19103/14499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19103 ÷ 215
    19103 ÷ 32768     		x = 0.582977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14499 ÷ 215
    14499 ÷ 32768     		y = 0.442474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582977294921875 × 2 - 1) × π
    0.16595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52136172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442474365234375 × 2 - 1) × π
    0.11505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.361444223135223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52136172} λ = 0.52136172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361444223135223))-π/2
    2×atan(1.43540095758636)-π/2
    2×0.962309128060656-π/2
    1.92461825612131-1.57079632675     		φ = 0.35382193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52136172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.871826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35382193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.272503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19103 KachelY 14499 0.52136172 0.35382193 29.871826 20.272503
    Oben rechts KachelX + 1 19104 KachelY 14499 0.52155347 0.35382193 29.882813 20.272503
    Unten links KachelX 19103 KachelY + 1 14500 0.52136172 0.35364205 29.871826 20.262197
    Unten rechts KachelX + 1 19104 KachelY + 1 14500 0.52155347 0.35364205 29.882813 20.262197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35382193-0.35364205) × R
    0.000179880000000021 × 6371000     		dl = 1146.01548000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35382193-0.35364205) × R
    0.000179880000000021 × 6371000     		dr = 1146.01548000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52136172-0.52155347) × cos(0.35382193) × R
    0.000191749999999935 × 0.938055323850445 × 6371000     		do = 1145.96520228678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52136172-0.52155347) × cos(0.35364205) × R
    0.000191749999999935 × 0.938117634487603 × 6371000     		du = 1146.04132340682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35382193)-sin(0.35364205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938055323850445-0.938117634487603)×R²
    abs(0.52155347-0.52136172)×6.23106371578919e-05×R²
    0.000191749999999935×6.23106371578919e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.23106371578919e-05×40589641000000     		ar = 1313337.48289455m²