Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19103 / 11870
↖ ↑ ↗
← N 81.269219°
W127.532043°		 ← 46.36 m → N 81.269219°
W127.529297°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
N 81.268802°
W127.532043°		 ← 46.36 m →
2 150 m²		 N 81.268802°
W127.529297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145748138427734 y=0.0905647277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145748138427734 × 217)
    floor (0.145748138427734 × 131072)
    floor (19103.5)     		tx = 19103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0905647277832031 × 217)
    floor (0.0905647277832031 × 131072)
    floor (11870.5)     		ty = 11870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19103 / 11870 ti = "17/19103/11870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19103/11870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19103 ÷ 217
    19103 ÷ 131072     		x = 0.145744323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11870 ÷ 217
    11870 ÷ 131072     		y = 0.0905609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145744323730469 × 2 - 1) × π
    -0.708511352539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.22585406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0905609130859375 × 2 - 1) × π
    0.818878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57258165500993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22585406} λ = -2.22585406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57258165500993))-π/2
    2×atan(13.0995994710402)-π/2
    2×1.49460588612265-π/2
    2.9892117722453-1.57079632675     		φ = 1.41841545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22585406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.532043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41841545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.269219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19103 KachelY 11870 -2.22585406 1.41841545 -127.532043 81.269219
    Oben rechts KachelX + 1 19104 KachelY 11870 -2.22580612 1.41841545 -127.529297 81.269219
    Unten links KachelX 19103 KachelY + 1 11871 -2.22585406 1.41840817 -127.532043 81.268802
    Unten rechts KachelX + 1 19104 KachelY + 1 11871 -2.22580612 1.41840817 -127.529297 81.268802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41841545-1.41840817) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41841545-1.41840817) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22585406--2.22580612) × cos(1.41841545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151791848814038 × 6371000     		do = 46.3611377499654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22585406--2.22580612) × cos(1.41840817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151799044452885 × 6371000     		du = 46.3633354832849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41841545)-sin(1.41840817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151791848814038-0.151799044452885)×R²
    abs(-2.22580612--2.22585406)×7.19563884668539e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.19563884668539e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.19563884668539e-06×40589641000000     		ar = 2150.32133304921m²