Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19101 / 14493
↖ ↑ ↗
← N 20.334325°
E 29.849854°		 ← 1 145.45 m → N 20.334325°
E 29.860840°		 →
↑
1 145.51 m
↓
↑
1 145.51 m
↓
N 20.324024°
E 29.849854°		 ← 1 145.52 m →
1 312 161 m²		 N 20.324024°
E 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582931518554688 y=0.442306518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582931518554688 × 215)
    floor (0.582931518554688 × 32768)
    floor (19101.5)     		tx = 19101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442306518554688 × 215)
    floor (0.442306518554688 × 32768)
    floor (14493.5)     		ty = 14493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19101 / 14493 ti = "15/19101/14493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19101/14493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19101 ÷ 215
    19101 ÷ 32768     		x = 0.582916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14493 ÷ 215
    14493 ÷ 32768     		y = 0.442291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582916259765625 × 2 - 1) × π
    0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442291259765625 × 2 - 1) × π
    0.11541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.362594708726105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52097823} λ = 0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362594708726105))-π/2
    2×atan(1.43705331603023)-π/2
    2×0.962848629985793-π/2
    1.92569725997159-1.57079632675     		φ = 0.35490093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35490093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.334325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19101 KachelY 14493 0.52097823 0.35490093 29.849854 20.334325
    Oben rechts KachelX + 1 19102 KachelY 14493 0.52116997 0.35490093 29.860840 20.334325
    Unten links KachelX 19101 KachelY + 1 14494 0.52097823 0.35472113 29.849854 20.324024
    Unten rechts KachelX + 1 19102 KachelY + 1 14494 0.52116997 0.35472113 29.860840 20.324024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35490093-0.35472113) × R
    0.000179800000000008 × 6371000     		dl = 1145.50580000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35490093-0.35472113) × R
    0.000179800000000008 × 6371000     		dr = 1145.50580000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52097823-0.52116997) × cos(0.35490093) × R
    0.000191739999999996 × 0.93768091999534 × 6371000     		do = 1145.44807619098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52097823-0.52116997) × cos(0.35472113) × R
    0.000191739999999996 × 0.937743384883577 × 6371000     		du = 1145.52438177056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35490093)-sin(0.35472113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93768091999534-0.937743384883577)×R²
    abs(0.52116997-0.52097823)×6.24648882366907e-05×R²
    0.000191739999999996×6.24648882366907e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.24648882366907e-05×40589641000000     		ar = 1312161.12265247m²