Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1910 / 422
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
E155.742188°		 ← 6 016.05 m → N 72.073911°
E155.917969°		 →
↑
6 024.86 m
↓
↑
6 024.86 m
↓
N 72.019729°
E155.742188°		 ← 6 033.64 m →
36 298 870 m²		 N 72.019729°
E155.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932861328125 y=0.206298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932861328125 × 211)
    floor (0.932861328125 × 2048)
    floor (1910.5)     		tx = 1910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206298828125 × 211)
    floor (0.206298828125 × 2048)
    floor (422.5)     		ty = 422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1910 / 422 ti = "11/1910/422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1910/422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1910 ÷ 211
    1910 ÷ 2048     		x = 0.9326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 422 ÷ 211
    422 ÷ 2048     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    0.865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71821396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71821396} λ = 2.71821396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71821396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1910 KachelY 422 2.71821396 1.25792706 155.742188 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 1911 KachelY 422 2.72128192 1.25792706 155.917969 72.073911
    Unten links KachelX 1910 KachelY + 1 423 2.71821396 1.25698139 155.742188 72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 1911 KachelY + 1 423 2.72128192 1.25698139 155.917969 72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25698139) × R
    0.000945670000000121 × 6371000     		dl = 6024.86357000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25698139) × R
    0.000945670000000121 × 6371000     		dr = 6024.86357000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71821396-2.72128192) × cos(1.25792706) × R
    0.00306796000000009 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 6016.05265634669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71821396-2.72128192) × cos(1.25698139) × R
    0.00306796000000009 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 6033.63668447017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.30868950013794)×R²
    abs(2.72128192-2.71821396)×0.000899624080087869×R²
    0.00306796000000009×0.000899624080087869×6371000²
    0.00306796000000009×0.000899624080087869×40589641000000     		ar = 36298869.8748094m²