Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19096 / 14488
↖ ↑ ↗
← N 20.385825°
E 29.794922°		 ← 1 145.07 m → N 20.385825°
E 29.805908°		 →
↑
1 145.12 m
↓
↑
1 145.12 m
↓
N 20.375527°
E 29.794922°		 ← 1 145.14 m →
1 311 286 m²		 N 20.375527°
E 29.805908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582778930664062 y=0.442153930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582778930664062 × 215)
    floor (0.582778930664062 × 32768)
    floor (19096.5)     		tx = 19096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442153930664062 × 215)
    floor (0.442153930664062 × 32768)
    floor (14488.5)     		ty = 14488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19096 / 14488 ti = "15/19096/14488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19096/14488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19096 ÷ 215
    19096 ÷ 32768     		x = 0.582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14488 ÷ 215
    14488 ÷ 32768     		y = 0.442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442138671875 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363553446718506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52001949} λ = 0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363553446718506))-π/2
    2×atan(1.43843173430682)-π/2
    2×0.963298050217746-π/2
    1.92659610043549-1.57079632675     		φ = 0.35579977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35579977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.385825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19096 KachelY 14488 0.52001949 0.35579977 29.794922 20.385825
    Oben rechts KachelX + 1 19097 KachelY 14488 0.52021123 0.35579977 29.805908 20.385825
    Unten links KachelX 19096 KachelY + 1 14489 0.52001949 0.35562003 29.794922 20.375527
    Unten rechts KachelX + 1 19097 KachelY + 1 14489 0.52021123 0.35562003 29.805908 20.375527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35579977-0.35562003) × R
    0.000179740000000039 × 6371000     		dl = 1145.12354000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35579977-0.35562003) × R
    0.000179740000000039 × 6371000     		dr = 1145.12354000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52001949-0.52021123) × cos(0.35579977) × R
    0.000191739999999996 × 0.937368196628222 × 6371000     		do = 1145.06606097492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52001949-0.52021123) × cos(0.35562003) × R
    0.000191739999999996 × 0.937430792145911 × 6371000     		du = 1145.14252612824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35579977)-sin(0.35562003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937368196628222-0.937430792145911)×R²
    abs(0.52021123-0.52001949)×6.25955176890569e-05×R²
    0.000191739999999996×6.25955176890569e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.25955176890569e-05×40589641000000     		ar = 1311285.8858313m²