Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 19095 / 16107
↖ ↑ ↗
← N 79.313340°
W127.554016°		 ← 56.64 m → N 79.313340°
W127.551270°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.312832°
W127.554016°		 ← 56.64 m →
3 204 m²		 N 79.312832°
W127.551270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145687103271484 y=0.122890472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145687103271484 × 217)
    floor (0.145687103271484 × 131072)
    floor (19095.5)     		tx = 19095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122890472412109 × 217)
    floor (0.122890472412109 × 131072)
    floor (16107.5)     		ty = 16107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19095 / 16107 ti = "17/19095/16107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19095/16107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19095 ÷ 217
    19095 ÷ 131072     		x = 0.145683288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16107 ÷ 217
    16107 ÷ 131072     		y = 0.122886657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145683288574219 × 2 - 1) × π
    -0.708633422851562 × 3.1415926535     		Λ = -2.22623756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122886657714844 × 2 - 1) × π
    0.754226684570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36947301131976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22623756} λ = -2.22623756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36947301131976))-π/2
    2×atan(10.6917563646325)-π/2
    2×1.47753763082095-π/2
    2.9550752616419-1.57079632675     		φ = 1.38427893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22623756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.554016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38427893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.313340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19095 KachelY 16107 -2.22623756 1.38427893 -127.554016 79.313340
    Oben rechts KachelX + 1 19096 KachelY 16107 -2.22618962 1.38427893 -127.551270 79.313340
    Unten links KachelX 19095 KachelY + 1 16108 -2.22623756 1.38427005 -127.554016 79.312832
    Unten rechts KachelX + 1 19096 KachelY + 1 16108 -2.22618962 1.38427005 -127.551270 79.312832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38427893-1.38427005) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38427893-1.38427005) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22623756--2.22618962) × cos(1.38427893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185437825504207 × 6371000     		do = 56.6374850785761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22623756--2.22618962) × cos(1.38427005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185446551482169 × 6371000     		du = 56.6401502168524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38427893)-sin(1.38427005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185437825504207-0.185446551482169)×R²
    abs(-2.22618962--2.22623756)×8.72597796194863e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72597796194863e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72597796194863e-06×40589641000000     		ar = 3204.3116562556m²