Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19095 / 10871
↖ ↑ ↗
← N 81.676003°
W127.554016°		 ← 44.22 m → N 81.676003°
W127.551270°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
N 81.675606°
W127.554016°		 ← 44.22 m →
1 955 m²		 N 81.675606°
W127.551270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145687103271484 y=0.0829429626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145687103271484 × 217)
    floor (0.145687103271484 × 131072)
    floor (19095.5)     		tx = 19095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0829429626464844 × 217)
    floor (0.0829429626464844 × 131072)
    floor (10871.5)     		ty = 10871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19095 / 10871 ti = "17/19095/10871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19095/10871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19095 ÷ 217
    19095 ÷ 131072     		x = 0.145683288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10871 ÷ 217
    10871 ÷ 131072     		y = 0.0829391479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145683288574219 × 2 - 1) × π
    -0.708633422851562 × 3.1415926535     		Λ = -2.22623756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0829391479492188 × 2 - 1) × π
    0.834121704101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.62047061773037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22623756} λ = -2.22623756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62047061773037))-π/2
    2×atan(13.7421893814764)-π/2
    2×1.49815575482986-π/2
    2.99631150965971-1.57079632675     		φ = 1.42551518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22623756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.554016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42551518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.676003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19095 KachelY 10871 -2.22623756 1.42551518 -127.554016 81.676003
    Oben rechts KachelX + 1 19096 KachelY 10871 -2.22618962 1.42551518 -127.551270 81.676003
    Unten links KachelX 19095 KachelY + 1 10872 -2.22623756 1.42550824 -127.554016 81.675606
    Unten rechts KachelX + 1 19096 KachelY + 1 10872 -2.22618962 1.42550824 -127.551270 81.675606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42551518-1.42550824) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42551518-1.42550824) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22623756--2.22618962) × cos(1.42551518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144770620410234 × 6371000     		do = 44.2166738690257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22623756--2.22618962) × cos(1.42550824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144777487295535 × 6371000     		du = 44.2187711925503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42551518)-sin(1.42550824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144770620410234-0.144777487295535)×R²
    abs(-2.22618962--2.22623756)×6.86688530129875e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.86688530129875e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.86688530129875e-06×40589641000000     		ar = 1955.07510513662m²