Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19094 / 16106
↖ ↑ ↗
← N 79.313850°
W127.556763°		 ← 56.62 m → N 79.313850°
W127.554016°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.313340°
W127.556763°		 ← 56.63 m →
3 207 m²		 N 79.313340°
W127.554016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145679473876953 y=0.122882843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145679473876953 × 217)
    floor (0.145679473876953 × 131072)
    floor (19094.5)     		tx = 19094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122882843017578 × 217)
    floor (0.122882843017578 × 131072)
    floor (16106.5)     		ty = 16106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19094 / 16106 ti = "17/19094/16106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19094/16106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19094 ÷ 217
    19094 ÷ 131072     		x = 0.145675659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16106 ÷ 217
    16106 ÷ 131072     		y = 0.122879028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145675659179688 × 2 - 1) × π
    -0.708648681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22628549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122879028320312 × 2 - 1) × π
    0.754241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36952094821938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22628549} λ = -2.22628549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36952094821938))-π/2
    2×atan(10.6922689065689)-π/2
    2×1.47754207537337-π/2
    2.95508415074674-1.57079632675     		φ = 1.38428782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22628549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.556763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38428782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.313850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19094 KachelY 16106 -2.22628549 1.38428782 -127.556763 79.313850
    Oben rechts KachelX + 1 19095 KachelY 16106 -2.22623756 1.38428782 -127.554016 79.313850
    Unten links KachelX 19094 KachelY + 1 16107 -2.22628549 1.38427893 -127.556763 79.313340
    Unten rechts KachelX + 1 19095 KachelY + 1 16107 -2.22623756 1.38427893 -127.554016 79.313340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38428782-1.38427893) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38428782-1.38427893) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22628549--2.22623756) × cos(1.38428782) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185429089685046 × 6371000     		do = 56.6230032473123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22628549--2.22623756) × cos(1.38427893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185437825504207 × 6371000     		du = 56.625670834785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38428782)-sin(1.38427893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185429089685046-0.185437825504207)×R²
    abs(-2.22623756--2.22628549)×8.73581916097099e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.73581916097099e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.73581916097099e-06×40589641000000     		ar = 3207.09995988201m²