Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19094 / 14502
↖ ↑ ↗
← N 20.241583°
E 29.772949°		 ← 1 146.19 m → N 20.241583°
E 29.783936°		 →
↑
1 146.27 m
↓
↑
1 146.27 m
↓
N 20.231274°
E 29.772949°		 ← 1 146.27 m →
1 313 891 m²		 N 20.231274°
E 29.783936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582717895507812 y=0.442581176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582717895507812 × 215)
    floor (0.582717895507812 × 32768)
    floor (19094.5)     		tx = 19094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442581176757812 × 215)
    floor (0.442581176757812 × 32768)
    floor (14502.5)     		ty = 14502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19094 / 14502 ti = "15/19094/14502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19094/14502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19094 ÷ 215
    19094 ÷ 32768     		x = 0.58270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14502 ÷ 215
    14502 ÷ 32768     		y = 0.44256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58270263671875 × 2 - 1) × π
    0.1654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51963599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44256591796875 × 2 - 1) × π
    0.1148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.360868980339783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51963599} λ = 0.51963599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360868980339783))-π/2
    2×atan(1.43457549097156)-π/2
    2×0.962039296400674-π/2
    1.92407859280135-1.57079632675     		φ = 0.35328227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51963599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.772949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35328227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.241583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19094 KachelY 14502 0.51963599 0.35328227 29.772949 20.241583
    Oben rechts KachelX + 1 19095 KachelY 14502 0.51982774 0.35328227 29.783936 20.241583
    Unten links KachelX 19094 KachelY + 1 14503 0.51963599 0.35310235 29.772949 20.231274
    Unten rechts KachelX + 1 19095 KachelY + 1 14503 0.51982774 0.35310235 29.783936 20.231274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35328227-0.35310235) × R
    0.00017992 × 6371000     		dl = 1146.27032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35328227-0.35310235) × R
    0.00017992 × 6371000     		dr = 1146.27032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51963599-0.51982774) × cos(0.35328227) × R
    0.000191749999999935 × 0.938242171615994 × 6371000     		do = 1146.19346285095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51963599-0.51982774) × cos(0.35310235) × R
    0.000191749999999935 × 0.938304405012655 × 6371000     		du = 1146.26948961097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35328227)-sin(0.35310235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938242171615994-0.938304405012655)×R²
    abs(0.51982774-0.51963599)×6.22333966608934e-05×R²
    0.000191749999999935×6.22333966608934e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.22333966608934e-05×40589641000000     		ar = 1313891.12459775m²