Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19090 / 14506
↖ ↑ ↗
← N 20.200346°
E 29.729004°		 ← 1 146.50 m → N 20.200346°
E 29.739990°		 →
↑
1 146.53 m
↓
↑
1 146.53 m
↓
N 20.190035°
E 29.729004°		 ← 1 146.57 m →
1 314 532 m²		 N 20.190035°
E 29.739990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582595825195312 y=0.442703247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582595825195312 × 215)
    floor (0.582595825195312 × 32768)
    floor (19090.5)     		tx = 19090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442703247070312 × 215)
    floor (0.442703247070312 × 32768)
    floor (14506.5)     		ty = 14506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19090 / 14506 ti = "15/19090/14506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19090/14506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19090 ÷ 215
    19090 ÷ 32768     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14506 ÷ 215
    14506 ÷ 32768     		y = 0.44268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44268798828125 × 2 - 1) × π
    0.1146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360101989945862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360101989945862))-π/2
    2×atan(1.4334756072047)-π/2
    2×0.96167943732032-π/2
    1.92335887464064-1.57079632675     		φ = 0.35256255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35256255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.200346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19090 KachelY 14506 0.51886900 0.35256255 29.729004 20.200346
    Oben rechts KachelX + 1 19091 KachelY 14506 0.51906075 0.35256255 29.739990 20.200346
    Unten links KachelX 19090 KachelY + 1 14507 0.51886900 0.35238259 29.729004 20.190035
    Unten rechts KachelX + 1 19091 KachelY + 1 14507 0.51906075 0.35238259 29.739990 20.190035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35256255-0.35238259) × R
    0.000179959999999979 × 6371000     		dl = 1146.52515999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35256255-0.35238259) × R
    0.000179959999999979 × 6371000     		dr = 1146.52515999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51906075) × cos(0.35256255) × R
    0.000191749999999935 × 0.938490936762467 × 6371000     		do = 1146.49736411791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51906075) × cos(0.35238259) × R
    0.000191749999999935 × 0.938553062449513 × 6371000     		du = 1146.57325929564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35256255)-sin(0.35238259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938490936762467-0.938553062449513)×R²
    abs(0.51906075-0.51886900)×6.21256870466658e-05×R²
    0.000191749999999935×6.21256870466658e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.21256870466658e-05×40589641000000     		ar = 1314531.58524786m²