Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1909 / 444
↖ ↑ ↗
← N 70.844672°
E155.566406°		 ← 6 413.65 m → N 70.844672°
E155.742188°		 →
↑
6 422.92 m
↓
↑
6 422.92 m
↓
N 70.786910°
E155.566406°		 ← 6 432.26 m →
41 254 129 m²		 N 70.786910°
E155.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932373046875 y=0.217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932373046875 × 211)
    floor (0.932373046875 × 2048)
    floor (1909.5)     		tx = 1909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217041015625 × 211)
    floor (0.217041015625 × 2048)
    floor (444.5)     		ty = 444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1909 / 444 ti = "11/1909/444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1909/444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1909 ÷ 211
    1909 ÷ 2048     		x = 0.93212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 444 ÷ 211
    444 ÷ 2048     		y = 0.216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93212890625 × 2 - 1) × π
    0.8642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71514599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216796875 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71514599} λ = 2.71514599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77941771389648))-π/2
    2×atan(5.92640455068764)-π/2
    2×1.40363456087172-π/2
    2.80726912174344-1.57079632675     		φ = 1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71514599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1909 KachelY 444 2.71514599 1.23647279 155.566406 70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 1910 KachelY 444 2.71821396 1.23647279 155.742188 70.844672
    Unten links KachelX 1909 KachelY + 1 445 2.71514599 1.23546464 155.566406 70.786910
    Unten rechts KachelX + 1 1910 KachelY + 1 445 2.71821396 1.23546464 155.742188 70.786910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23647279-1.23546464) × R
    0.0010081500000001 × 6371000     		dl = 6422.92365000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23647279-1.23546464) × R
    0.0010081500000001 × 6371000     		dr = 6422.92365000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71514599-2.71821396) × cos(1.23647279) × R
    0.00306797000000003 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 6413.6456885717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71514599-2.71821396) × cos(1.23546464) × R
    0.00306797000000003 × 0.329082400211873 × 6371000     		du = 6432.25672780943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23647279)-sin(1.23546464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.329082400211873)×R²
    abs(2.71821396-2.71514599)×0.000952164337021832×R²
    0.00306797000000003×0.000952164337021832×6371000²
    0.00306797000000003×0.000952164337021832×40589641000000     		ar = 41254128.7119996m²