Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1909 / 1789
↖ ↑ ↗
← N 70.656330°
W 96.108398°		 ← 1 618.57 m → N 70.656330°
W 96.064453°		 →
↑
1 619.19 m
↓
↑
1 619.19 m
↓
N 70.641769°
W 96.108398°		 ← 1 619.74 m →
2 621 722 m²		 N 70.641769°
W 96.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23309326171875 y=0.21844482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23309326171875 × 213)
    floor (0.23309326171875 × 8192)
    floor (1909.5)     		tx = 1909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21844482421875 × 213)
    floor (0.21844482421875 × 8192)
    floor (1789.5)     		ty = 1789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1909 / 1789 ti = "13/1909/1789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1909/1789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1909 ÷ 213
    1909 ÷ 8192     		x = 0.2330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1789 ÷ 213
    1789 ÷ 8192     		y = 0.2183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.533935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67740799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2183837890625 × 2 - 1) × π
    0.563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76944683877551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67740799} λ = -1.67740799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76944683877551))-π/2
    2×atan(5.86760673098624)-π/2
    2×1.40199096281128-π/2
    2.80398192562257-1.57079632675     		φ = 1.23318560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67740799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23318560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.656330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1909 KachelY 1789 -1.67740799 1.23318560 -96.108398 70.656330
    Oben rechts KachelX + 1 1910 KachelY 1789 -1.67664100 1.23318560 -96.064453 70.656330
    Unten links KachelX 1909 KachelY + 1 1790 -1.67740799 1.23293145 -96.108398 70.641769
    Unten rechts KachelX + 1 1910 KachelY + 1 1790 -1.67664100 1.23293145 -96.064453 70.641769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23318560-1.23293145) × R
    0.000254150000000175 × 6371000     		dl = 1619.18965000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23318560-1.23293145) × R
    0.000254150000000175 × 6371000     		dr = 1619.18965000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67740799--1.67664100) × cos(1.23318560) × R
    0.000766990000000023 × 0.331233643946428 × 6371000     		do = 1618.57097856652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67740799--1.67664100) × cos(1.23293145) × R
    0.000766990000000023 × 0.331473436165073 × 6371000     		du = 1619.74272163392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23318560)-sin(1.23293145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331233643946428-0.331473436165073)×R²
    abs(-1.67664100--1.67740799)×0.000239792218644397×R²
    0.000766990000000023×0.000239792218644397×6371000²
    0.000766990000000023×0.000239792218644397×40589641000000     		ar = 2621722.02752271m²