Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19089 / 14658
↖ ↑ ↗
← N 18.625424°
E 29.718017°		 ← 1 157.66 m → N 18.625424°
E 29.729004°		 →
↑
1 157.67 m
↓
↑
1 157.67 m
↓
N 18.615013°
E 29.718017°		 ← 1 157.73 m →
1 340 232 m²		 N 18.615013°
E 29.729004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582565307617188 y=0.447341918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582565307617188 × 215)
    floor (0.582565307617188 × 32768)
    floor (19089.5)     		tx = 19089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447341918945312 × 215)
    floor (0.447341918945312 × 32768)
    floor (14658.5)     		ty = 14658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19089 / 14658 ti = "15/19089/14658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19089/14658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19089 ÷ 215
    19089 ÷ 32768     		x = 0.582550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14658 ÷ 215
    14658 ÷ 32768     		y = 0.44732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582550048828125 × 2 - 1) × π
    0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    0.1053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.330956354976868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51867725} λ = 0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330956354976868))-π/2
    2×atan(1.39229902405898)-π/2
    2×0.947935654801461-π/2
    1.89587130960292-1.57079632675     		φ = 0.32507498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32507498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.625424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19089 KachelY 14658 0.51867725 0.32507498 29.718017 18.625424
    Oben rechts KachelX + 1 19090 KachelY 14658 0.51886900 0.32507498 29.729004 18.625424
    Unten links KachelX 19089 KachelY + 1 14659 0.51867725 0.32489327 29.718017 18.615013
    Unten rechts KachelX + 1 19090 KachelY + 1 14659 0.51886900 0.32489327 29.729004 18.615013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32507498-0.32489327) × R
    0.000181710000000002 × 6371000     		dl = 1157.67441000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32507498-0.32489327) × R
    0.000181710000000002 × 6371000     		dr = 1157.67441000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51867725-0.51886900) × cos(0.32507498) × R
    0.000191750000000046 × 0.947626781978228 × 6371000     		do = 1157.65807121607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51867725-0.51886900) × cos(0.32489327) × R
    0.000191750000000046 × 0.947684800843982 × 6371000     		du = 1157.72894933972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32507498)-sin(0.32489327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947626781978228-0.947684800843982)×R²
    abs(0.51886900-0.51867725)×5.80188657537395e-05×R²
    0.000191750000000046×5.80188657537395e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.80188657537395e-05×40589641000000     		ar = 1340232.15515968m²